Riemann- Integral und Lebesgue- Integral
Das Riemann- Integral bestimmt in einer
zweidimensionalen Darstellung die Fläche zwischen der x- Achse und der
Funktion y = f(x) durch Einschachtelung in 2
Approximationssummen. Sie werden aus treppenförmig in Variablenrichtung
aufeinanderfolgenden Rechtecken gebildet, von denen bei der Obersumme
die Ordinate in jedem Intervall den größten Wert der Funktion (ihr Supinum),
bei der Untersumme den kleinsten Wert der Funktion (ihr Infimum)
annimmt. Das Riemann- Integral existiert, wenn beide Summen beim
Grenzübergang zu beliebig kleinen Rechteckbreiten auf einen gemeinsamen
Wert, den Integralwert, konvergieren.
Das Lebesgue- Integral zerlegt den
Integrationsbereich in Funktionsintervalle, denen jeweils ein
eindeutiges Maß zugeordnet ist. Das Integral ist die Summe
der Maße der einzelnen Intervalle. Anschaulich gesprochen, wird in dem
sehr einfachen Fall einer zweidimensionalen Funktion y = f(x) der
Ordinatenbereich in Streifen zerlegt - nicht notwendig von gleicher
Breite. Jedem Streifen wird ein Maß zugeordnet, das seinen Flächeninhalt
angibt; die Summe dieser Maße ist das Lebesgue- Integral .
Die Simulation zeigt für eine Parabel y = x 2
die Riemannsche Infimum-Reihe und eine Aufteilung der Lebesgue-
Reihe, bei welcher der erste Streifen in seiner Höhe so bestimmt ist,
daß er als Rechteck die Funktion nur in einem Punkt trifft; die
übrigen, einseitig krummlienig begrenzten Streifen haben jeweils gleiche
Höhe. Als Maß für die Lebesgue- Streifen dient der
rote Strich; er schneidet die Funktion bei einem Funktionswert, der,
multipliziert mit der Entferung zum Endpunkt der Integration exakt die
Fläche des Intervalls ergibt. In anderen Worten: Das damit definierte
Rechteck hat den gleichen Flächeninhalt wie der von der Parabel
begrenzte Integrationsstreifen. Der waagrechte rote Strich ergänzt das
Rechteck; die darüber und darunter liegenden, krummlinieg begrenzten
"Zwickel" sind flächengleich.
Die blaue Kurve zeigt die Parabel, deren bestimmtes Integral zwischen
einem Anfangspunkt x1 (blau) und einem mit
der Maus ziehbaren Endpunkt x2 (magenta) gebildet
werden soll. Die orangfarbene Kurve ist die analytische Integralfunktion y
= ( x 3 - x1 3) / 3,
ausgehend vom Anfangswert x1.
Mit dem ersten Schieberegler kann der Anfangswert der Integration
eingestellt werden. Mit dem zweiten Schieberegler kann die Zahl der
Punkte n im Intervall, und damit die Zahl n-1 (beim
Lebesgue- Beispiel n ) der Intervalle bei der
Summenbildung festgelegt werden. Reset setzt den
Summationsbereich auf 1 < x < 4 und die Riemann-
Intervallzahl auf 9 (n = 10).
Beim Riemann- Integral wird die Annäherung an den formalen
Integralwert mit zunehmender Auflösung immer besser. Beim unserem
Beispiel des Lebesgue- Integrals ist die Übereinstimmung von
vornherein gegeben - unabhängig von der Zahl der Streifen (bei dieser
einfachen Funktion hätte man es auch durch ein einziges Rechteck
darstellen können). Die notwendige Berechnung des richtigen Maßes wurde
hier analytisch vorgenommen, ist aber natürlich auch numerisch als Limes
innerhalb eines Intervalls möglich.
Der Lebesgueschen Integralbegriff liefert keine besondere Methode
zur Berechnung des Maßes seiner Untereinheiten. Seine Stärke liegt in
der sehr allgemeinen, mathematischen Anwendbarkeit des so definierten Integralbegriffs,
der ganz allgemein die Integration von Mengen zuläßt, wenn sie aus meßbaren
Objekten bestehen, und dann das Integral als Summe der Maße darstellt.