E1: Initialisieren! Lassen Sie den markierten Eckpunkt des
Quadtratarrays einmal in der z- Ebene auf dem Einheitskreis
umlaufen und beobachten Sie, wie oft das Bild in der u- Ebene
umläuft. Benutzen Sie für einen Halbumlauf die Animation.
die
u- Fläche hat n "Riemannsche Blätter"
E2: Ziehen Sie das Quadrat auf einen Punkt zusammen und beobachten Sie, wie Punkte innerhalb und außerhalb des Einheitskreises abgebildet werden:
r(u) = [r(z)] n , φ(u) = n φ(z)
E3: ziehen Sie den roten Punkt des Quadrats irgendwo auf dem Einheitskreis; und beobachten Sie wohin er abgebildet wird: (auf den Einheitskreis, unter Drehung)
E3: Beobachten Sie, wie Gerade und Winkel des Quadrats abgebildet werden:
konforme Abbildung ⇔ Winkel bleiben erhalten
E4: Wählen Sie n = 0, während Sie das Array verschieben, beobachten Sie, wohin es abgebildet wird: (alle Punkte der z- Ebene werden in den Punkt (1, 0) abgebildet)
E5: Ziehen Sie den Durchmesser des Kreisarrays auf 1 auf. Wählen Sie eine beliebige Potenz. Wohin wird der Einheitskreis abgebildet?
Auf sich selbst (unter Drehung der nicht auf der reellen Ache liegenden Punkte!)
In welches Riemannsche Blatt?
E6: Wählen Sie eine positive Potenz! Wohin wird der Außenraum des Einheitskreises, wohin der Innenraum abgebildet?:
Jeweils auf sich selbst, unter Dehnung, bzw. Stauchung, und Drehung.
E7: Wählen Sie eine negative Potenz (Beispiel n = -1; u = 1 /z). Wie ist die Abbildung?
Der Innenraum wird in den Außenraum, der Außenraum in den Innenraum abgebildet.
Die Null wird ins Unendliche abgebildet, Unendlich in die Null (Unendlich als kreisförmiger Limes gedacht!)
E8: Verschieben Sie beide Arrays und überlegene Sie genau für alle Punkte, was die beobachteten Verzerrungen verursacht.
E9: Wählen Sie eine Rationalzahl für n (am besten 1 < n < 2); Wie sieht es mit den Riemannschen Blättern aus
E10: Wählen Sie eine Rationalzahl n < 1 (z.B. u = z 2/3 als Umkehrung von u = z 3/2)
E11: Intitialisieren! Wählen Sie die kleinste Größe des Rechteckarray. Setzen Sie Durchmesser des auf den Nullpunkt zentrierten Kreises auf 1 und wählen Sie eine hohe Potenz n (z. Bsp 20 oder 50). Sie werden nur wenige abgebildete Punkte sehen. Wie viele und warum?
Verscheiben Sie das Zentrum des Kreises ein wenig. Jetzt sehen Sie alle 100 Punkte. Ihre regelmäßige Anordnung kommt dadurch zustande, daß sie auf n Riemannschen Blättern liegen. Interpretieren Sie das! Spielen Sie mit dem Kreisdurchmesser, der Potenz und dem Kreismittelpunkt um reizvolle Muster zu bekommen.