Mathematische Zusammenhänge
Bei dieser Darstellung ist die dritte Komponente des Geschwindigkeitsvektors v gleich Null, er liegt in der xy- Ebene. Der Rotationsvektor des Feldes steht auf der xy- Ebene senkrecht, er hat also nur eine z- Komponente. Damit gilt:
a = (ax , ay, 0)
div a = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y + 0 = ∂ax/∂x + ∂ay/∂y
rot v = (0, 0, ∂ay/∂x -∂ax/∂y)
Wann ist das Feld wirbelfrei, die Rotation (hier also die dritte Komponemte des Rotationsvektors) gleich Null?
∂vy/∂x -∂vx/∂y = 0
wenn ax = a(x) und ay = a(y), die Komponenten also nur Funktionen der eigenen Koordinaten sind (Bsp: ax = x2+3x-1, ay = y3-y2). Dazu gehört auch der Fall, daß beide Komponenten Zahlen sind, deren Ableitung gleich Null ist (Bsp: ax = 1, ay = -4).
Ist eine der Komponenten auch Funktion der anderen Variablen, dann enthält das Feld im allgemeinen Wirbel, es sei denn die partiellen Ableitungen heben sich gerade auf, wie bei
rot (ax = y, ay = x) = (0, 0, 1 - 1) = (0, 0, 0 ) = 0
Wann ist das Feld quellenfrei?
∂ax/∂x = - ∂ay/∂y
Die partiellen Ableitungen müssen absolut gleich sein, bei entgegengesetztem Vorzeichen.
Die Bewegung des Objektes in den Koordinaten x und y wird über zwei sehr einfache, gewöhnliche Differentialgleichungen berechnet:
dx/dt = ax
dy/dt = ay