Komplexer Logarithmus

z in Polarkoordinaten dargestellt, ermöglicht das Logarithmieren:

z = |z| e = √(x2 +y2) e

u = lnz = ln √(x2 +y2) + i(ϕ + k 2π); periodisch in i k 2π , k ganzzahlig

Φ = arctan (y/x)

Hauptwert für k = 0: u = lnz = ln √(x2 +y2) + iϕ

Der komplexe Logarithmus hat wegen der Periodizität von e mit i2kπ unendlich viele Zweige, von denen sich benachbarte im Imaginärteil jeweils um unterscheiden. Der Wert für k = 0 wird als Hauptwert bezeichnet. Dies ist die Default- Situation beim Öffnen der Simulation.

Der ganzzahlige Parameter k kann in dem Zahlenfeld k frei gewählt werden; die Simulation zeigt dann den k-Zweig des Logarithmus.

Mit der Taste Initialisieren werden Einstellungen auf die Ausgangswerte zurück gesetzt, mit Ausnahme des in seinem Zahlenfeld festgelegten Periodenparameters k

Im Raum der reellen Zahlen existiert der Logarithmus nur für positive Zahlen. Im komplexen Raum existiert er für alle Zahlen, also auch für negative reelle Zahlen. Man erprobt das am besten, indem man das Array auf einen Punkt auf der reellen Achse zusammenzieht und diesen entlang dieser Achse verschiebt.Für positive Werte erkennt man die logarithmische Stauchung in der u- Ebene. Mit x <1 wird der Logarithmus negativ und divergiert für x = 0 (geben Sie in das Zahlenfeld z.B. erst x = 0.000001, dann x = 0 ein). Mit x < 0 wird der Logarithmus komplex, mit einem Imaginärteil y = iπ . Für x  = - 1 wird der Wert rein imaginär mit ln (-1) = iπ.

Nach erneutem Initialisieren liegt die untersten Punktreihe des Array auf der reellen Achse im  Bereich x > 0. Alle diese Punkte werden in positive oder negative reelle Punkte der u- Ebene abgebildet. Mit Verschieben in positive x- Richtung erkennt man die logarithmische Stauchung längs beider Achsen. (Sie können dabei in das Zahlenfeld für x Werte eingeben, die jenseits des Schieberbereichs liegen; passen Sie gleichzeitig die Skalierung an). Mit Verschieben in -x Richtung springen Punkte der reellen Achse beim Unterschreiten von 0 in der u- Ebene auf eine Gerade y = iπ und bewegen sich in positive x- Richtung.

Insgesamt erkennt man aus der Abbildung des Punktarrays, daß der Bereich der z- Ebene mit x > 1 in ein Gebiet der positiv reellen u- Halbebene abgebildet wird, das symmetrisch zur reellen Achse liegt und begrenzt wird durch die bei der Abbildung der Punkte mit x = 1 entstehende Kurve x = 0.5 ln(1 + y2), y = arctan y. Diese Grenzkurve kann grün mit dem Schalter Visible angezeigt werden. Gleichzeitig wird eine Kurve gelb gezeigt, auf der Abbilder von Punkten liegen, die gleichen Imaginärteil haben (1 für die gelbe Kurve) : x = 0.5 ln (1 + x2), y = arctan (1/x). Der Bereich der z- Ebene mit x < -1 wird abgebildet in 2 Teilgebiete der positiv reellen Halbebene , die begrenzt sind durch um ∓ π verschobene Grenzkurven.

Der Bereich innerhalb des Einheitskreises wird in den negativ reellen Halbraum des durch ∓ iπ begrenzten Streifens transformiert.

Ein hinreichend komplexes Verhalten, um das tiefere Eindringen - auch für die Transformation des Kreises - reizvoll werden zu lassen!

Versuche mit k ungleich Null zeigen, daß sich außer einer Verschiebung des Abbildungsstreifens in der u- Ebene in imaginärer  Richtung nichts ändert. In jeden periodische k-Streifen wird die gesamte z- Ebene abgebildet.