Riemann- Integral

Das Riemann- Integral bestimmt in einer zweidimensionalen Darstellung die Fläche zwischen der x- Achse und der Funktion y = f(x) durch Einschachtelung in 2 Approximationssummen. Sie werden aus treppenförmig aufeinanderfolgenden Rechtecken gebildet, von denen bei der Obersumme die Ordinate in jedem Intervall den größten Wert der Funktion (ihr Supinum), bei der Untersumme den kleinsten Wert  der Funktion (ihr Infimum) annimmt. Das Riemann- Integral existiert, wenn beide Summen beim Grenzübergang zu beliebig kleinen Rechteckbreiten auf einen gemeinsamen Wert, den Integralwert, konvergieren.

Die Definition ist nicht identisch mit der klassischen Rechteck- Approximation, bei der als Höhe des Recktecks der Wert der Funktion am Anfang (oder Ende, oder in der Mitte)  des Intervalls genommen wird. Sie führt für wohlverhaltende Funktionen zum gleichen Grenzwert, ist aber in der Mathematik breiter anwendbar.

Wir zeigen die Bildung des Rieman- Integrals am Beispiel der Sinusfunktion.

Die blaue Kurve zeigt die Sinusfunktion, deren bestimmtes Integral zwischen einem Anfangspunkt x1 (blau) und einem mit der Maus ziehbaren Endpunkt x2 (magenta) gebildet werden soll. Die orangfarbene Kurve ist die analytische Integralfunktion cos(x) - cos (x1), ausgehend vom Anfangswert x1.

Mit dem ersten Schieberegler kann der Anfgangswert der Integration eingestellt werden. Mit dem zweiten Schieberegler kann die Zahl der Punkte n im Intervall, und damit die Zahl n-1 der Intervalle bei der Summenbildung festgelegt werden. Reset setzt den Summationsbereich auf 1 < x < 4 und die Intervallzahl auf 9 (n = 10).

Das linke Fenster zeigt die Approximation der Funktion und der Summationsintervalle durch ihr jeweiliges Supinum (rot); die Kurve liegt dabei jeweils unterhalb der oberen Rechteckbegrenzung. Das rechte Fenster zeigt die Einschachtelung durch das jeweilige Infimum; die Kurve liegt dabei jeweils oberhalb der oberen Rechteckbegrenzung (oben:  im Sinn positiver Ordinatenrichtung).

Das grün gefüllte Wagenrad zeigt links die durch Aufsummation aller Rechtecke im Intervall gebildete Supinum- Approximation des Integrals, rechts die Infimum- Approximation; erstere nähert sich mit kleiner werdender Intervallbreite dem Grenzwert von oben, letztere von unten an.