Komplexer Sinus und Cosinus

sin z = 1/2i (e iz - e -iz) = sin x cosh y + i cos x sinh y

cos z = 1/2 (e iz +e -iz) = cos x cosh y - i sin x sinh y

= sin (x + π/2) cosh y + i cos (x + π/2) sinh y

Für reale Zahlen (y = 0) gilt sinh y = 0; cosh = 1, die Formeln gehen in die der vertrauten realen Winkelfunktion über. Punkte auf der reellen Achse werden periodisch mit der Periode 2π abgebildet. Dabei ist ist -1 ≥ sin x ≥ 1.

Alle Streifen der reellen Achse von der Breite 2π werden auf den Bereich -1 ≥ x ≥ 1 der realen Achse innerhalb des Einheitskreises abgebildet

Punkte auf Parallelen zur realen Achse werden auf Ellipsen abgebildet, deren Brennpunkt +1 und -1 sind.

Punkte auf parallelen zur imaginären Achse werden auf Hyperbeln abgebildet, mit den gleichen Brennpunkten -1 und +1.

Beim Verschieben des Punktarrays parallel zur realen Achse um 2π rotiert die Abbildung einmal um den Ursprung; dieser Streifen der z- Ebene wird also auf ein vollständiges Riemannsches Blatt der u- Ebene abgebildet (Wählen Sie die Skalierung passend!)

Das um den Ursprung angeordnete Ausgangs- Kreisarrays mit dem Radius π/2 wird in eine 8- ähnliche Figur transformiert, bei der die auf der reellen Achse liegenden Punkte in -1 und +1 abgebildet werden. Beim Verschieben parallel zur realen Achse wandern die markierten Pukte mit gleicher Gechwindigkeit auf der realen Achse. Da auch komplexe Werte auf die reale Achse abgebildet werden, ergeben sich Verschlingungen, die mit zunehmendem Kreisdurchmesser mehrfach werden können. Die Teilschlingen liegen dabei auf unterschiedlichen Riemannschen Blättern.

Aus den Formeln geht hervor, daß die Cosinusfunktion wie für reale Zahlen gleich einer phasenverschobenen Sinusfunktion ist. In der konformen Abbildung erkennt man das am bestehn, wenn man die Simulationen für beide Funktionen öffnet und identische Verschiebungen der Arrays vornimmt.