Riemann- Integral
Das Riemann- Integral bestimmt in einer
zweidimensionalen Darstellung die Fläche zwischen der x- Achse
und der Funktion y = f(x) durch Einschachtelung in 2
Approximationssummen. Sie werden aus treppenförmig aufeinanderfolgenden
Rechtecken gebildet, von denen bei der Obersumme die Ordinate in
jedem Intervall den größten Wert der Funktion (ihr Supinum),
bei der Untersumme den kleinsten Wert der Funktion (ihr Infimum)
annimmt. Das Riemann- Integral existiert, wenn beide Summen beim
Grenzübergang zu beliebig kleinen Rechteckbreiten auf einen gemeinsamen
Wert, den Integralwert, konvergieren.
Die Definition ist nicht identisch mit der klassischen
Rechteck- Approximation, bei der als Höhe des Recktecks der Wert der
Funktion am Anfang (oder Ende, oder in der Mitte) des Intervalls
genommen wird. Sie führt für wohlverhaltende Funktionen
zum gleichen Grenzwert, ist aber in der Mathematik breiter anwendbar.
Wir zeigen die Bildung des Rieman- Integrals am
Beispiel der Sinusfunktion.
Die blaue Kurve zeigt die Sinusfunktion, deren bestimmtes Integral
zwischen einem Anfangspunkt x1 (blau) und
einem mit der Maus ziehbaren Endpunkt x2 (magenta)
gebildet werden soll. Die orangfarbene Kurve ist die analytische
Integralfunktion cos(x) - cos (x1), ausgehend vom
Anfangswert x1.
Mit dem ersten Schieberegler kann der Anfgangswert der Integration
eingestellt werden. Mit dem zweiten Schieberegler kann die Zahl der
Punkte n im Intervall, und damit die Zahl n-1 der
Intervalle bei der Summenbildung festgelegt werden. Reset setzt
den Summationsbereich auf 1 < x < 4 und die Intervallzahl
auf 9 (n = 10).
Das linke Fenster zeigt die Approximation der Funktion und der
Summationsintervalle durch ihr jeweiliges Supinum (rot); die
Kurve liegt dabei jeweils unterhalb der oberen
Rechteckbegrenzung. Das rechte Fenster zeigt die Einschachtelung durch
das jeweilige Infimum; die Kurve liegt dabei jeweils oberhalb
der oberen Rechteckbegrenzung (oben: im Sinn positiver
Ordinatenrichtung).
Das grün gefüllte Wagenrad zeigt links die durch Aufsummation aller
Rechtecke im Intervall gebildete Supinum- Approximation des
Integrals, rechts die Infimum- Approximation; erstere nähert sich
mit kleiner werdender Intervallbreite dem Grenzwert von oben, letztere
von unten an.