Taylorentwicklung

Die Taylorentwicklung nähert eine Funktion f(x) in der Nähe eines Aufpunkts x0 durch die Teilsummen einer Potenzreihe des Abstands (x - x0 ) vom Aufpunkt an.

f( x-x0 ) = 1 / n! * f (n)(x0 )*( x - x0 )n

Der Koeffizient des n-ten Gliedes ist die n-te Ableitung der Funktion im Aufpunkt f (n)(x0), geteilt durch n! = 1*2*3*4*...*n

Für n➙∞ konvergiert die Taylerreihe auf die Funktion, wenn die Ableitungen im Definitionsbereich der Variablen x nicht divergieren, was im Allgemeinen zutrifft.

In der Simulation werden für in analytischer Form vorgegebene, rot dargestellte Funktionen Ableitungen bis zur 7-ten Ordnung berechnet, und die entsprechenden, blau eingezeichneten Teilsummen (Näherungen) der Taylorreihe gebildet. Die verbleibende Abweichung wird grün aufgezeichnet.

Zur Skalierung der Achsen und Charakterisierung der Funktion können in die Funktionen 2 Parameter a und b eingefügt werden, die durch Schieberegler kontinuierlich veränderbar sind (z.B: Amplitude und Frequenz). Ein dritter, ganzzahlig in einem Textfenster variierbarer Parameter m kann z. B. zur Unterscheidung von Potenzen verwendet werden. Der dargestellte Variablenbereich xmin < x < xmax kann durch manuelle Eingabe fixiert werden (Eingabetaste nach Änderung betätigen!)

Der Aufpunkt wird durch einen dicken, blauen Punkt gekennzeichnet; Ziehen dieses Punktes verschiebt ihn entlang der Funktion. In der default- Einstellung ist der Aufpunkt gegen einen Symmetriepunkt der Funktion verschoben, damit aufeinanderfolgende Ordnungen der Taylorreihe beim ersten Öffnen klarer unterscheidbar werden.

Beim Öffnen der Simulation ist das Funktionsfenster zunächst leer. Sie können in das Funktionsfenster eine eigene Funktion einschreiben; nach Drücken der Eingabetaste wird sie mit ihrer Taylornäherung berechnet. Durch Drücken des Pfeils öffnen Sie ein Auswahlmenue für das Funktionsfenster mit vorgefertigten Funktionen. Wechsel der Funktionen oder Änderung eines Parameters startet die Berechnung neu. Alle Funktionen sind editierbar.

Die Defaulteinstellung für die Ordnung der Annäherung ist 3. Mit den beiden Tasten +1 und -1 kann die Ordnung zwischen Null (Konstante)  und 7 (Polynom 7ter Ordnung)umgeschaltet werden. Bei Ordnungen > 5 wird der Rechenaufwand beachtlich. Je nach der Geschwindigkeit des Rechners kann es etwas dauern bis das Ergebnis gezeigt wird.