Pendelgleichungen

Das Pendel hat ohne Fremdantrieb einen durch die Anfangsbedingungen definierten, konstant bleibenden Energieinhalt. Beim Start aus der Ruhe A = 0) in der Höhe yA gegenüber dem Ruhepunkt y0 = 0 besteht er ganz aus potentieller Energie

Epot_max = mg ( yA - y0 )

Beim schwingenden, einfachen Pendel findet laufend eine Umsetzung von potentieller in kinetische Energie statt;  im unteren Umkehrpunkt ist die Energie ganz in Bewegungsenergie umgewandelt:

Ekin_max = m v2/2 = m (rω)2/2 = mg (yA - y0) = Epot_max

Beim Doppelpendel verteilt sich die potentielle Energie der Startsituation während der Pendelbewegung in die jeweilige potentielle Energie der beiden Pendelscheiben, und in ihre kinetische Energien, wobei das Sekundärpendel um den Endpunkt des Primärpendels pendelt oder rotiert.

Das einfache Pendel wird durch eine gewöhnliche, durch die auftretende Winkelfunktion nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit 2 Anfangsbedingungen (Anfangswinkel und Anfangsgeschwindigkeit) beschrieben. Sie ist äquivalent zu 2 gekoppelten, Differentialgleichungen erster Ordnung, von denen die erste (1) linear, die zweite (2) wegen der Winkelfunktion in der Definitionsgleichung f für die Verknüpfung zwischen Ausschlagwinkel und Winkelgeschwindigkeit nichtlinear ist, . Wenn wir als Variable den Ausschlagwinkel α und die Winkelgeschwindigkeit ω wählen, gilt mit g als Erdbeschleunigung und L als Pendellänge: :

2/dt2  = -g/L sin a

(1) dα/dt  = ω;

(2) dω/dt =  f(α)

f (α) = - g/L sin α

Für das Doppelpendel gelten zwei nichtlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit 4 Anfangsbedingungen (Anfangswinkel beider Pendel und Anfangs- Winkelgeschwindigkeit beider Pendel). Sie sind äquivalent zu 4 gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung:

(1)1/dt  = ω1;

(2) 1/dt = f 11 , α2 , ω1 , ω2)

f1 () = (-g/L1*((m1+m2)sina1- m2sina2cos(a1-a2))

- m2sin(a1-a2)(L2/L1ω22+ ω12cos(a1-a2))) / (m1+m2sin2(a1-a2))

(3)2/dt  = ω2;

(4)2/dt =  f 21 , α2 , ω1 , ω2)

f2 () = -g/L2*sina2+L1/L2ω12sin(a1-a2)

-L1/L2cos(a1-a2)*(-g/L1*((m1+m2)sina1- m2sina2cos(a1-a2))

- m2sin(a1-a2)(L2/L1ω22+ ω12cos(a1-a2))) /(m1+m2sin2(a1-a2))

Die beiden Verknüpfungsgleichungen f1,2 sind wesentlich komplizierter als die einzelne beim Einzelpendel, und vom Verhältnis der Pendelmassen und den Pendellängen abhängig. In sie gehen jeweils neben den beiden Winkeln auch die beiden Winkelgeschwindigkeiten ein. Vor allem aber ist die Verkopplung der Variablen a1 und a2 und ihrer Ableitungen nun in 2 Gleichungen nichtlinear; die entsprechenden Glieder sind rot hervorgehoben. Dies verursacht das chaotischen Verhalten. Die Differentialgleichungen des Doppelpendels beschreiben einen oszillierenden Prozeß, der zu keine periodischen Lösung findet. Er ist aber wohldeterminiert, was gut erkennbar ist, wenn man ihn wiederholt aus der vom Rechner exakt gleich reproduzierten Anfangslage startet. Allerdings ist der längerfristige Verlauf extrem abhängig von den genauen Anfangsbedingungen; das erkennen Sie, wenn  Sie versuchen durch Ziehen des blauen Punktes mehrfach die gleichen Anfangsbedingungen herzustellen (ziehen Sie nach Pause, aber ohne Clear).

Der chaotische Charakter bleibt erhalten, wenn man einige der vielen nichtlinearen Glieder wegläßt oder ändert- natürlich beschreibt das Modell dann nicht mehr den physikalischen Vorgang des Doppelpendels. Maßgebend für das chaotische Verhalten ist das Vorliegen von mehr als einer nichtlinearen Differentialgleichung.

Aus den obigen Gleichungen ist erkennbar, daß für m2 = 0 und auch für L2 = 0 die erste Gleichung (f1) in die Gleichung des einfachen Pendels übergeht. f2 wird identisch Null. Dementsprechend zeigt die Simulation dann das periodische, für große Ausschläge nichtlineare Verhalten eines einfachen Pendels.

Beim angetriebenen Pendel lautet die Differentialgleichung für das Hauptpendel:

f1_Antrieb = f1 + A cos(delta*t)

Dabei ist A die Amplitude des Antriebs der Winkelgeschwindigkeit des Hauptpendels, delta seine Frequenz im Verhältnis zu dessen freier Pendelfrequenz bei kleinen Ausschlägen.