Weltlinie und Spezielle Relativitätstheorie

Geschehnisse A in der realen Welt spielen sich in einem vierdimensionalen Koordinatensystem, nämlich Raum ( 3 Dimensionen x, y, z ) und Zeit (1 Dimension t ) ab:

A = A (x, y, z, t) .

Da wir uns maximal dreidimensionale Dinge vorstellen, oder als Projektion auf eine Ebene visualisieren können, beschränkt man sich in der graphischen Darstellung 4- dimensionaler Ereignisse meist auf solche, die ein einziges Punktobjekt betreffen, das sich längs einer Koordinatenachse bewegt.

x = x(t)

Im Unterschied zum aus der Mechanik geläufigen Weg(Zeit) Diagramm ist es in der Speziellen Relativitätstheorie üblich der Ordinate die Zeit und der Abszisse den Weg zuzuordnen

t= t(x)

Von besonderem Interesse ist diese Darstellng, wenn sich Objekte gegenüber einem im Nullpunkt (dicker roter Punkt) als ruhend gedachten Beobachter mit einer Geschwindigkeit bewegen, die nicht klein gegen die Lichtgeschwindigkeit   (c  = 2,99 792 458 *108 m/s) ist. Anstatt t benutz man daher ct als abhängige Variable ; beide Achsen bekommen damit die Dimension einer Länge.

ct = ct(x)

Eine Trajektorie (Bahn) in diesem Schema wird Weltlinie genannt, jeder Punkt auf ihr ein Weltereignis. Für t < 0 zeigt die Weltlinie die gesamte Vergangenheit, für t > 0 die gesamte Zukunft des Geschehens.

Um vernünftige Skalierung bei hohen Geschwindigkeiten zu erreichen, wird als Einheit der x- Achse 2,99 792 458 *108 m/s * (1 Zeiteinheit) verwendet. Wenn die Zeit in Sekunden angegeben wird, beträgt die x- Einheit

2,99 792 458 *108 m ≈ 300 000 km =  1 Lichtsekunde.

Mit der angegebenen Skalierungsmethode der Raumzeitgeometrie ist die Weltlinie eines den Ursprung pasierendes Lichtsignals die Diagonale des xy- Koordinatensystems (bei Berücksichtigung beider Ausbreitungsrichtungen ein diagonaler Lichtkegel).

Ein Beispiel, das wir veranschaulichen wollen, ist die zeitlich gleichmäßig beschleunigte Bewegung eines Körpers in Richtung der x- Achse des Raums.

Nach den Gesetzen der klassischen Mechanik könnte aus Sicht des Ruhesystems (bei dem der Nullpunkt der Darstellung -der Startpunkt - in Ruhe bleibt) ein kontinuierlich gleichmäßig beschleunigtes Objekt eine beliebig hohe Geschwindigkeit erreichen. Die Weltlinie wäre eine nach rechts geöffnete Parabel.

Die Spezielle Relativitätstheorie sagt aus, das dies nicht möglich ist. Ein reales, beschleunigtes Objekt kann sich gegenüber dem Ruhesystem maximal der Lichtgeschwindigkeit annähern. Sobald seine Geschwindigkeit in die Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit kommt, vergrößert sich - aus Sicht des ruhenden Bobachters - zunehmend seine Masse, während die Geschwindigkeitszunahme bei konstanter Beschleunigung gegen Null geht.

Aus Sicht des Beobachters im beschleunigten Objekt wächst seine Geschwindigkeit kontinuierlich weiter an. Dieser Eindruck kommt aber aus Sicht des ruhenden Beobachter dadurch zustande, daß für den bewegten Beobachter die Zeit zunehmend dilatiert wird; seine Uhr geht immer langsamer.