Explizite Differentialgleichung zweiter Ordnung

Die Datei berechnet numerische Lösungen expliziter Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In den Graphiken wird als Azisse die Variable x, als Ordinate y verwendet.

y´ ´= d2y/dx2= f( y, y´, x)

Beim Öffnen sehen Sie zunächst einen dicken, roten Punkt bei x = 0, der dem Anfangswert y0 mit seiner Abszisse x0 entspricht. Sie können den Anfangswert mit einem Schieber festlegen, genauer und im Wert unbegrenzt mit dem daneben stehenden Zahlenfeld. In 2 weiterten Zahlenfeldern können Sie x0 und den Bereich der Graphik xmax bestimmen. Im Default sind die Werte der Parameter: y0 = 1; x0 = 0; xmax = 3. Sie können neue Werte auch durch Ziehen des roten Punktes einstellen, am besten nach Zurück.

Mit einem zweiten Schieber, oder durch Zahleneingabe, können Sie den Anfangswert der ersten Ableitung festlegen. Er entspricht der Kurvensteigung im Anfangspunkt, die in der Graphik durch einen Pfeil angezeigt wird.

Mit der Auswahlbox können Sie unter voreingestellten Funktionstypen wählen; ihre Formeln werden im Fenster y´´ gezeigt. Dort können Sie die Differentialgleichungen ändern oder ganz neue Funktionen eingeben.

Beim Start wird die an erster Stelle der Auswahlbox stehende Differentialgleichung der Exponentialfunktion y´´= y ausgewertet. Sie stoppt, sobald x = xmax ist. Sie wird zunächst als Folge von Berechnungpunkten angezeigt. Mit den Optionskästchen können Sie zwischen einer Darstellung als Punkte oder als geschlossene Linie wählen.

Mi Stop wird die Berechnung sofort angehalten; Zurück läßt die bereits berechneten Punkte oder Kurven stehen und setzt den Anfangpunkt auf den Anfangswert zurück. Sie können für ihn jetzt andere Anfangswerte eintragen. Bei neuem Start sehen Sie dann eine zusätzliche Kurve. So können Sie Kurvenscharen für verschiedene Anfangswerte erzeugen (in der Kurvendarstellung treten dabei Rücksprünge auf, die in der Punktdarstellung vermieden werden). Löschen löscht die früher berechneten Kurven, setzt den Anfaggswert auf x =0 zurück, läßt aber die Parametereinstellungen unverändert. Reset führt schließlich zum Ausgangszustand zurück.

Mit 2 weiteren Optionsschaltern können Phasenraum-Diagramme der Lösungen sichtbar gemacht werden, und zwar

2D:  in einem ebenen Koordinatenfeld werden 2 zweidimensionale Phasenraum-Projektionen für den Zusammenhang zwischen y und den Ableitungen y´ und y´´gezeigt

y ´ = g ( y )

y´´  = h ( y )

Die mitlaufenden, dicken Punkte sind die aktuellen Berechnungspunkte.

3D: in einer rotierenden, räumlichen Projektion wird die Phasen- Kurve im 3- dimensionalen Phasenraum als Punktfolge gezeigt

y´´ = f( y, y´ )

Aus diesen Phasenraum- Projektionen kann man besonders gut den unterschiedlichen Charakter einzelner Differentialgleichungen ablesen:  Konvergenz, Divergenz, periodische Oszillation, oszillierende Divergenz, oszillierende Konvergenz. Er ist vom Anfangwert qualitativ unabhängig. Die voreingestellten Differentialgleichungen zeigen der Reihe nach die genannten Charakteristika.