Unabhängig von der praktischen Bedeutung einer systematischen Berechnung der Kreiszahl π ist das Verfahren von Archimedes ein großer Schritt in den Grundlagen der Mathematik. Es stellt die erste dokumentierte Erkenntnis konvergenter unendlicher Folgen und ihres Grenzwerts dar.
Schon um 450 v. Chr. hatte der vorsokratische Philosoph Zenon von Elea im Rahmen erkenntnistheoretischer Überlegungen über die unendliche Teilbarkeit von Raum und Zeit spekuliert, und die Fachwelt mit seinen Paradoxa verblüfft. In dem berühmten Beispiel Achilles und die Schildkröte geht es z.B. darum ob der schnelle Renner Achilles eine Schildkröte einholen kann, die das Rennen mit einem räumlichen Vorsprung beginnt. Er muß ja zunächst ihren Startpunkt erreichen und in der dazu notwendigen Zeit ist die Schildkröte bereits weitergekrochen, hat also wieder einen Vorsprung. Auf diesen kann man die gleiche Überlegung anwenden, und ad infinitum fortsetzen. Nach dem Paradoxon sollte Achilles die Schildkröte niemals erreichen oder gar überholen können.
Deutet man das Paradoxon aus heutiger mathematischer Sicht, dann handelt es sich um die Frage ob die Summe einer unendlichen Zahl (Folge) von Schritten, von denen keiner einen Wert identisch Null hat, zu einer endlichen Weglänge führen kann (dem Ort bzw. Zeitpunkt des Überholens). Das war im Rahmen des damaligen Zahlenbegriffs nicht begründbar.
Von Archimedes wird die transzendente Kreiszahl als endlicher Grenzwert einer unendlichen Folge eingeführt und konkret berechnet. Die Glieder dieser Folge sind dabei das Produkt aus der Seitenlänge eines Näherungsdreiecks und seiner Seitenzahl. Der endliche Grenzwert ergibt sich als Produkt aus dem Grenzwert einer Dreiecks- Seitenlänge (→0) und dem Grenzwert der Seitenzahl (→∞).
Im Fall der Kreisberechnung ist die Struktur der Folge für die Seitenlänge recht kompliziert, als zunehmend ineinander geschachtelte Wurzeln gleichen Arguments. Bei den Zenonschen Paradoxa hätte es sich um Grenzwerte von strukturell einfacheren Teilsummen geometrischer Folgen gehandelt.
Zusätzlichen Pfiff erhält der Beweisgang von Archimedes dadurch, daß er für die Näherungen 2 jeweils auf den gleichen Wert konvergierende Folgen definiert, eine Untersumme (der Umfang des eingeschlossenen Vielecks, der im Endlichen stets kleiner ist als der des Kreises)) und eine Obersumme (der Umfang des umschließenden Vielecks, der im Endlichen stets größer ist als der des Kreises). Die Glieder der Folgen für Ober- und Untersumme stehen dabei in einem einfachen, geometrisch bedingten Verhältnis zueinander, in das der halbe Dreieckswinkel bestimmend eingeht.