Der fraktale Charakter der Umrandung der Mandelbrotfigur resultiert aus der nichtlinearen Bildungsvorschrift der Mandelbrotfolge. Sie ist nicht durch die speziellen quadratische Nichtlinearität bedingt.
Um dies zu demonstrieren, wird von einer modifizierten Folge mit einstellbarer Potenz des nichtlinearen Gliedes ausgegangen:
zn+1= znk+ c; z0 = 0; k≧ 1 Rationalzahl
Dabei ist c die komplexe Zahl, für welche Konvergenz oder Divergenz der Folge bestimmt wird.
Die Berechnung mit beliebigen Potenzen wird einfach, wenn die Darstellung der komplexen Zahlen mit Polarkoordinaten benutzt wird:
z = x + i y = r (cosφ + i sinφ) = r eiφ
r = √(x2 + y2); φ = arctg (y / x)
z k = r k eiφ = r k (cos (kφ) + i sin (kφ))
In der Simulation kann mit dem Schieberegler die Potenz k als Rationalzahl zwischen 1 und 10 eingestellt werden. Im Anzeigefeld kann für die Potenz eine beliebige rationale Zahl eingegeben werden, also z.B. eine exakte Ganzzahl oder auch eine sehr hohe Zahl wie 1000.
k = 2 führt zum Apfelmännchen der geläufigen Mandelbrotfolge.
Default- Position der Dateiöffnung und des Reset ist n = 10.
Haben Sie nach dem Öffnen und nach einer Änderung etwas Geduld; der Rechenaufwand ist groß, und kann nach einer Änderung von k oder nach einem Reset je nach Schnelligkeit Ihres PC mehrere Sekunden bis Minuten benötigen. Wenn Sie meinen, der PC bleibe in einer Schleife gefangen, schließen Sie die Datei und öffen Sie sie neu.