Numerische Näherungsverfahren der Integration.

Die rote Kurve zeigt die Sinusfunktion (blau), deren bestimmtes Integral zwischen einem Anfangspunkt x1 (blau) und einem Endpunkt x2 (magenta) gebildet werden soll. Für die näherungsweise Berechnung unterteilt man das Gesamtintervall in Teilintervalle der Breite delta. Für das Beispiel wurde eine Unterteilung in 2 Intervalle gewählt. Die Pfeile zeigen den Funktionswert in den 3 Punkten des Doppelintervalls an.

Näherungsverfahren unterscheiden sich dadurch, wie der Verlauf der Funktion im Intervall delta angesetzt wird.

1.) Rechteck- Approximation: der Funktionswert y wird im Intervall als konstant und gleich dem Wert y1 am Beginn der Intervalls angenommen. Der Beitrag des Intervalls ist delta*y1

2.) Trapez- Approximation: es wird angenommen, daß die Funktion im Intervall linear von y1 nach y2 verläuft. Der Beitrag des Intervalls ist delta*(y1+y2)/2.

3.) Parabel-Approximation:  Der Verlauf der Funktion in 2 Intervallen wird durch eine Parabel zweiten Grades approximiert (eine Parabel ist durch 3 Punkte eindeutig definiert). Der Beitrag eines Doppel- Intervalls ergibt überraschend einfach zu 2*delta*1/6(y1+4y2+y3)

Man kann die Approximationsgenauigkeit weiter hochtreiben, indem man Parabeln höherer Ordnung als 2 ansetzt. Da man dazu immer größere Teilintervalle zusammenfassen muß, und die Näherung mit einer Parabel zweiten Grades bereits sehr gut ist, spielen sie in der Praxis keine grosse Rolle.

Die Simulation berechnet nach den 3 verschiedenen Näherungen die Summe zweier das Integral annähernden Intervalle mit jeweils der Breite delta .

Mit dem ersten Schieberegler kann die Intervallbreite delta, mit dem zweiten Schieberegler der Anfangswert des ersten Intervalls x1 eingestellt werden.

Die rote Kurve ist die analytische Integralfunktion cos(x) - cos (x1), ausgehend vom Anfangswert x1.

Die drei Approximationen werden in 3 nebeneinander liegenden Feldern dargestellt. Der jeweilige Summenwert wird durch den grünen Punkt angezeigt.

Reset setzt delta auf 1 und den Anfangswert auf 0.5