Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom speziellen Typ
y´´ = - y f(x) - y´g(x)
beschreiben mannigfache Oszillatoren.
Dabei erzeugt der Term - y periodische Verläufe.
Wenn f(x) = 1 und g(x) = 0 ist, handelt es sich um die Differentialgleichung eines freien Oszillators mit der Periode 2π.
Angetriebener Oszillator
Ist f(x) eine periodische Funktion f(x) = cos(ax) mit der Periode 2πa, dann beschreibt die Differentialgleichung einen periodisch angetriebenen Oszillator. Ist die Antriebsfrequenz ungleich der Frequenz des freien Oszillators (a ≠1 ), dann treten Schwebungen zwischen der Frequenz des freien Oszillators und der Antriebsfrequenz auf. Für a = 1 liegt "Resonanz" vor, die Schwingung schaukelt sich linear immer weiter auf
Der Term - y´ g(x) beschreibt eine geschwindigkeitsabhängige Dämpfung (Entdämpfung für g(x) < 0).Ist g(x) von x unabhängig (eine Konstante), handelt es sich um eine exponentielle Dämpfung. Kommt eine solche Dämpfung zum periodisch angetriebenen Oszillator hinzu, dann wird die Eigenfrequenz des freien Oszillators weggedämpft, und nach einer Übergangzeit bleibt eine Schwingung mit der Antriebsfrequenz übrig. Im Resonanzfall wird das lineare Wachstum exponentiell begrenzt; die Schwingung pegelt sich auf einen höheren Wert ein.
Schwerependel
Die Schwingung eines Pendels im Schwerefeld der Erde wird mit der sehr einfachen Differentialgleichung
y´´ = -g /L sin( y )
beschrieben. Dabei ist g die Erdbeschleunigung, L die Pendellänge , x die Zeit und y der Winkelausschlag des Pendels aus der Ruhelage. Mit g = 9,81 ms-2 und L = 1 m lautet die Gleichung y´´ = -9,81 sin( y ).
Für kleine Ausschläge beträgt die Schwingungsdauer einer vollen Periode bei einem Pendel von 1 Meter Länge fast genau 2 Sekunden (lineare Näherung 2π√L/g≈ 2,0060 Sekunden). Man spricht dann von einem "Sekundenpendel", da es in einer Uhr in einer Periode zweimal "tickt", einmal am linken, einmal am rechten Umkehrpunkt. Die Voreinstellung ist ein Maximalausschlag von 1 Winkelgrad, wie bei einer Präzisions- Pendeluhr verwendet.
Die Differentialgleichung beschreibt auch das nichtlineare Verhalten für große Pendelausschläge, wo die Schwingungsdauer größer wird als bei kleinen Ausschlägen, und das Überschlagen des Pendels.
Bei den Voreinstellungen ist für ein zurückschwingendes Pendel der Winkelausschlag y des Umkehrpunktes (die Winkelgeschwindigkeit y´ ist hier gleich Null) vorgegeben.
Bei einem Überschlag muß im höchsten Punkt (Ausschlagwinkel π) eine kleine Anfangsgeschwindigkeit vorhanden sein, damit das Pendel umkippen kann.
In der Nähe des instabilen Umschlagpunktes wird die Rechengenauigkeit herausgefordert. Zu große Schrittweiten führen zu stark abweichenden Scheinergebnissen.