Phasenraum- Diagramme
Der Phasenraum charakterisiert die Beziehungen zwischen Variablen und
Ableitungen einer Funktion y = y(x), wie y = y (x, y´,y´´). Zweidimensionale
Phasenraum- Diagramme sind Projektionen des Phasenraum auf eine Ebene,
wie etwa y = y (y´) or y´= y´(y´´).
Bei dreidimensionalen Visualisierungen kann die Projektion räumlich
sein, wie y = y( y´,y´´).
Phasenraum- Diagramme charakterisieren oft die charakteristischen
Eigenschaften eines Funktionstyps besonders anschaulich und überzeugend.
In dieser einfachen Simulation wird dies für die Periodizität der
Winkelfunktionen demonstriert.
Das linke Fenster zeigt blau die Funktion y = sin ( n x ),
grün die erste Ableitung y´= ncos ( nx ). Die Nullinie
ist magentafarben eingezeichnet. Mit dem Schieber n kann
der Parameter n verändert werden, der die Zahl der Perioden im
Intervall 2π festlegt. Reset bestimmt. n = 1.
Ein zweiter Schieber xBereich definiert den Bereich von x als m*2π
zwischen 0 und 10 π. Ausgangswert ist m = 0.5,
was den ausgewerteten Bereich der Funktion auf eine halbe Periode
begrenzt.
Das rechte Fenster zeigt rot die Phasenraumprojektion y´(y) .
Ein blauer Punkt beshreibt die Abhängigkeit y´(y) am
Ende des x- Bereichs. Im Ausgangszustand (m = 0.5) ist das
Phasendiagramm ein Halbkreis, entsprechend der Halbperiode der Funktion.
Mit kleiner werdendem m zieht sich das Diagramm auf einen Punkt
zusammen. Für m >> 1 wird der Kreis mehrfach durchlaufen Allgemein hat
er m Umläufe und damit soviele, wie die Funktion ausgewertete
Perioden aufweist.
Für n ≠ 1 weicht die Amplitude der Ableitung von der
Amplitude der Funktion ab. Sie hat die n-fache Amplitude. Mit n
≠ 1 wird das Phasendiagramm dementsprechend zu einer Ellipse
Periodizität wird durch geschlossene Phasendiagramme gekennzeichnet, die
so oft durchlaufen werden, wie die Funktion Perioden aufweist.