Erste und zweite Ableitung

Am Beispiel einer mit einem linearen Term ergänzten Sinusfunktion wird der Grenzübergang zum ersten Differentialquotienten und die vom linearen Term unabhängige zweite Ableitung demonstriert.

y = sin(x) +c x

dy/dt(x1) = x2➙x1 lim (y2 - y1 )/(x2 - x1) = cos(x1)+c

d 2y/dt2(x1) = -sin(x1)

Mit dem Schieberegler wird der blaue Aufpunkt x1 , y1 bestimmt.Durch Ziehen des roten Punktes kann der Punkt x2 , y2 eingestellt werden. Ziehen des magentafarbenen quadratischen Punktes verändert die Konstante c des linearen Glieds.

Die Sekante zwischen beiden Kurven-Punkten ist schwarz eingezeichnet, und wird grün über den zweiten Punkt hinaus verlängert.

Die Differenz der Ordinaten (y2 - y1) wird als roter Pfeil, die Differenz der Abszissen

(x2 -x1) als blauer Pfeil dargestellt.

Der Differenzenquotient (y2 - y1)/(x2 -x1), der den Tangens des Winkels beider Komponenten im Aufpunkt darstellt, wird als magentafarbener Punkt angezeigt.

Beigefarben ist die analytische erste Ableitung cos(x) +c = d(sin(x)+cx)/dx eingezeichnet,

blau die zweite Ableitung sin(x) =d(cos(x)+c)/dx.

Wählen Sie mit dem Schieber einen beliebigen Aufpunkt. Ziehen Sie den roten Punkt zum Aufpunkt. Bei diesem Grenzübergang wird die Sekante in eine Tangente im Aufpunkt übergehen, der Differenzenquotient kommt auf die beige Line des analytisch vorgegebenen Differentialquotienten zu liegen.

Ändern Sie durch Ziehen des magentafarbenen Punktes c:  die erste Ableitung wird parallel verschoben, an der zweiten Ableitung ändert sich nichts.