Die Fourierreihe einer periodischen Funktion f(x) mit der Periode x = 2π hat die Form
f(x) = a0 /2 + Σ (ancos(nx) + bnsin(nx)); n=1,2,3....∞
Zur Berechnung der Koeffizienten der Reihe geht man von folgenden, postulierten Identitäten aus
∫f(x)cos(mx)dx = ∫cos(mx) Σ(a0/2 + Σ ancos(nx) + bnsin(nx))dx
∫f(x)sin(mx)dx = ∫sin(mx) Σ(a0/2 + Σ ancos(nx) + bnsin(nx))dx
wobei über eine Periode der Grundschwingung (m = 1) zu integrieren ist.
Dabei treten, unter Weglassen von Konstanten, Integrale über folgende Funktionstypen auf, die jeweils über den Index n aufzusummieren wären:
Mit m = 1,2,3..∞ und n = 1,2,3..∞: Ordnung der Oberwellen (Grundschwingung m = 1)
cos (mx)
sin (mx)
cos (mx) * (a*cos (nx) + b*sin (nx))
sin (mx) * (a*cos (nx) + b*sin(nx))
Alle diese Integrale sind Null, mit Ausnahme der Fälle, bei denen die Indices identisch m = n und der Funktionstyp gleich ist (Sinus oder Cosinus). Damit hat für jeden Index m die Summe nur ein einziges Glied, und die Koeffizienten ergeben sich durch Auflösung der verbleibenden Glerichung einfach zu zu
a0 = 2/T∫f(t) dt
an= 2/T∫cos(nx) f(t) dt
bn = 2/T∫sin(nx) f(t) dt
Diese Simulation veranschaulicht die einzelnen Funktionstypen und das Ergebnis ihrer Integration.