Beim Öffnen der Datei sehen sie als Voreinstellung die Funktion u = z2. Entsprechend ist die Skalierung der u- Ebene doppelt so groß eingestellt wie die der z- Ebene. Das Quadratarray hat die Kantenlänge 1 und beginnt beim Punkt (1,0). Er wird in sich selbst abgebildet. Der Endpunkt des Array (+2,0) wird in 22 = (4,0) abgebildet. Der maximale Wert auf der imaginären Achse (1, i) wird in (1+i)2 = (0, 2i) abgebildet. Alle Punkte werden um den doppelten Winkel in der z- Ebene gedreht. Punkte innerhalb des Einheitskreises erhalten einen quadratisch kleineren Abstand zum Ursprung, Punkte außerhalb einen quadratisch größeren.
Die Animation ziegt, daß die Funktion die z- Halbebene mit positivem Imaginärteil auf die gesamte u- Ebene abildet. Gleiches gilt nach Verschieben des Arrays in die negativ imaginäre Halbebene. Die z- Ebene wird in 2 volle Riemannsche Blätter der u-Ebene abgebildet. Das Bild des Kreises, der ja den vollen Winkelbereich der Ebene umfaßt, ist doppelt, wie Sie an der Farbcodierung und an der sichtbaren Zahl der Punkte (50 bei 100 Punkten des Array)erkennen. Bei geringer Verschiebung zerfällt das Bild in 2 Teile in jeweils einem Riemannschen Blatt.
Im Eingabefeld Potenz n können Sie eine rationale Zahl als Potenz eingeben (default 2); -1 entspricht u = 1/z, 0,5 entspricht u = √z. (Die Änderung wird mit Betätigen der ENTER- Taste wirksam.
1/z bildt den Innenraum des Einheitskreises in den Außenraum, und den Außenraum in den Innenraum ab, unter Umkehrung des Winkelvorzeichens. Das ist am besten erkennbar, wenn man das Quadratarray etwas zusammenzieht, so daß es ganz in den Einheitskreis paßt, und den Eckpunkt dann mit der Maus auf (1,0) zieht. Verkleinern Sie dabei die u_Skala auf 1.
z0,5 ist die Umkehrung von z2. Ensprechend erwartet man, daß jetzt die volle z-Ebene auf die halbe u- Ebene abgebildet wird. Die Animation zeigt schnell, daß die volle z- Ebene auf die positiv reelle u- Halbebene abgebildet wird. Das Vorzeichen des imaginären Anteils bleibt erhalten. Wenn der Kreis keine negativen reellen Anteile enthält wird er in eine geschlossene Linie abgebildet. Im anderen Fall spaltet er in 2 Teile auf, je nach dem Vorzeichen des imaginären Anteils.
Potenzen n größer 1 führen zu n- fachen Riemannschen Blättern, wobei für ungeradzahlige Werte ein Blatt nur teilweise überdeckt wird.
Passen Sie die Skalierung jeweils geeignet an!