Die Glieder der komplexen exponentiellen Folge werden mit der Regel erzeugt:
zn+1= zn*a / n
(zum Vergleich: die geometrische Folge : zn+1= zn*a )
Dabei ist zn das n-te Glied der Folge, mit dem Index n als ganzer, positiver Zahl, einschließlich der Null. Der Wachstumsparameter a ist eine komplexe Zahl. Es sei
z0= 1
Die Glieder haben also die Form: 1, a /1 , a 2/(1*2), a3/(1*2*3), a4/(1*2*3*4)....
zn =an/ n!
( n! = 1*2*3*4*...*n n!= n -Fakultät)
Die komplexe exponentielle Reihe entsteht durch fortgesetzte Addition der Glieder der komplexen geometrischen Folge. Ihr Teilsummen Sn sind also:
Sn= Σ0n am/m! mit m von 0 bis n; Sn = 1 + a + a 2/2....+a n/n!
In der Simulation, die 1000 Punkte berechnet, können Sie den Punkt a in der linken komplexen Ebene mit der Maus verschieben, und in der linken Ebene die Auswirkung auf die Glieder der Folge, in der rechten Ebene die auf die Teilsummen der komplexe Reihe beobachten.
Den Fall der reellen exponentiellen Reihe erhalten sie als Spezialfall der komplexen Reihe, wenn Sie den Punkt a längs der reellen Achse bewegen.
Die Glieder der exponentiellen Folge konvergieren stets gegen Null
Die komplexe exponentielle Reihe konvergiert für jeden endlichen Wert von a . .
lim (Sn= Σ0n am/m!) = ea; e = 2,71828....Eulersche Zahl
Sobald a einen imaginären Anteil enthält, bewegen sich Folge und Reihe spiralig auf den Konvergenzpunkt (limes) zu (die Umgebung des Reihen- limes wird mit einem grünen Kreis gekennzeichnet).
Arbeiten sie zunächst mit kleinen Imaginäranteilen, damit die gesamte Reihe auf einem Riemannschen Blatt gezeigt wird. Bei größerem Imaginäranteil sehen Sie vielfache Umschlingungen des Nullpunkts durch die Folge, und Punkte mehrerer Riemannscher Blätter überlagert. Dies ist weniger augenscheinlich als bei der komplexen geometrischen Reihe, da die Reihe so schnell konvergiert, daß die meisten Punkte ganz nahe am grün umrandeten Häufungspunkt liegen und visuell nicht mehr unterscheidbar sind.