Simulation einer schwingenden Saite

Beim Öffnen der Datei sehen sie eine an beiden Enden eingespannte Saite mit einer Gaußfunktion als symmetrischen Anfangsauslenkung, deren Halbwertsbreite so eingestellt ist, daß die Amplitude an den Enden praktisch Null ist.

Mit Play beginnt die Berechnung, Stop hält sie an, Step führt sie schrittweise aus. Die Animationsgeschwindigkeit kann mit dem Schieber eingestellt werden.

Die Rechnung geht davon aus, daß benachbarte Punkte auf der Saite elastisch miteinander verbunden sind, als wäre jeweils eine kleine Feder zwischen ihnen wirksam, deren Rückstellkraft linear von ihrem Abstand abhängt. In der Simulation wird die Saite in ein Berechnungsgitter von 1000 Punkten unterteilt.

Entgegen einer naiven Erwartung schwingt die Saite nicht einfach in einer stehenden Welle mit der Anfangskontur, sondern aus der Ausgangssituation wandern 2 Gaußimpulse nach beiden Seiten, werden an den Enden reflektiert, und überlagern sich dann wieder, wobei die ursprüngliche Kurvenform rekonstruiert wird, bei negativem Vorzeichen der Auslenkung.für die erste Reflektion.

In der Formel für die Gaußfunktion steht ein Parameter a (die reziproke 1/e- Breite der Funktion), den Sie in dem Zahlenkästchen ändern können. Wenn Sie nach Anhalten der Simulation z. B. a = 0.1 eintragen, und dann wieder Play wählen, sendet der jetzt gegen die Saitenlänge kurze Impuls zwei klar getrennte Impulse nach beiden Seiten aus, welch nach Rücklauf wieder die Ursprungskurve rekonstruieren.

Bei zu kurzer Impulsbreite ( a < 0,03 )führt die begrenzte Auflösung zu Rechenartifakten. Man kann aber auch dann kurzfristig studieren, wie so erzeugte Wellenformen sich weiter entwickeln.

In dem Auswahlkasten können Sie die folgenden Anfangsauslenkungen einstellen:

Sie können die Formeln editieren oder neue, eigene Formeln eintragen.

Die sich über die ganze Saitenlänge erstreckenden Sinus- Funktionen rekonstruieren sich unbegrenzt in Form stehender Wellen. Das sind die Grundmoden oder Eigenfunktionen der Saite. Sie entstehen aber nicht einfach durch Auslenkung senkrecht zur Nullinie, sondern als Überlagerung rechts- und linkslaufender Wellen.

Bei Musikinstrumenten läßt Obertonreichtum den Ton interessant werden. Der stabile Ton einer Orgelflöte im "Flötenregister", der nahezu ihrer Grundschwingung (dem "Grundmode") entspricht, ist vergleichsweise fad. Der reizvolle, "zirpende" Ton eines Cembalo kommt dadurch zustande, daß die Saite momentan lokal angerissen wird, und daß sich diese lokale Erregung danach laufend räumlich und zeitlich verändert.

Jedem Gitarrenspieler ist vertraut, daß das "weiche Anzupfen" mit dem Finger in der Saitenmitte einen eher dumpfen Ton erzeugt, während das Anreißen mit dem Plektrum einen hart einsetzenden und vibrierenden Ton erzeugt, insbesondere, wenn nicht in der Saitenmitte, sondern nahe an einem Ende gezupft wird. Anhand der verschiedenen Simulationsbeispiele werden Sie verstehen, welch komplizierten Schwingungserscheinungen hinter diesen Hörerlebnissen stehen.