Die Glieder der komplexen geometrischen Folge werden analog zum reellen Fall mit der Regel erzeugt:
zn= an
Dabei ist zn das n-te Glied der Folge, mit dem Index n>=0 . Der Parameter a ist eine komplexe Zahl.
Die Glieder haben also die Form: 1, a, a2, a3, a4..... zn = an
Die komplexe geometrische Reihe entsteht durch fortgesetzte Addition der Glieder der komplexen geometrischen Folge. Ihr Teilsummen Sm sind also:
Sn = Σon a m mit m von 0 bis n; Sn = 1 + a + a 2....+ an
In der Simulation, die 1000 Glieder der Folge berechnet, können Sie den Punkt a in der linken komplexen Ebene mit der Maus verschieben, und in der linken Ebene die Auswirkung auf die Glieder der Folge, in der rechten Ebene die auf die Teilsummen der komplexe Reihe beobachten.
Den Fall der reellen geometrischen Reihe erhalten sie als Spezialfall der komplexen Reihe, wenn Sie den Punkt a längs der reellen Achse bewegen.
Die komplexe geometrische Reihe konvergiert, wenn der Absolutwert von a kleiner 1 ist, a also innerhalb des in der linken Ebene dünn rot eingezeichneten Einheitskreises liegt.
Im Konvergenzfall ist der Limes der Reihe
lim^n→∞ Sn = limn→∞ Σonm am = 1/(1-a)
Der Limes ist im rechten Fenster das Zentrum des grünen Kreises, der den "Häufungspunkt" der Reihe einkreist.
Der leicht hervorgehobene Ausgangspunkt von Folge und Reihe ist gleich der reellen Zahl 1. Das zweite Glied der Folge ist gleich dem Parameter a. Dieser dick eingezeichnete, rot umrandete Punkt kann mit der Maus gezogen werden. so daß sich a in der komplexen Ebene verändert.
Sobald a einen imaginären Anteil enthält, bewegen sich Folge und Reihe mit abs(a)<1 spiralig auf den Konvergenzpunkt (limes) zu. Arbeiten sie zunächst mit kleinen Imaginäranteilen, damit die gesamte Reihe auf einem Riemannschen Blatt gezeigt wird. Bei größerem Imaginäranteil sehen Sie vielfache Umschlingungen des Nullpunkts durch die Folge, und Punkte mehrerer Riemannscher Blätter überlagert
Für Winkel des Vektors a von 2π/N , mit N ganzzahlig, liegen die Spiralpunkte auf Radialstrahlen mit N- zahliger Symmetrie. Sie erkennen das am besten, wenn der Absolutwert von a nahe 1 ist.
Beachten Sie, daß die Werte der Reihe schnell sehr groß werden, wenn sich a dem Einheitskreis nähert. Die Koordinatenachsen der Reihe zeigen dann Werte mit hohen Zehnerpotenzen, und der Einheitskreis als Quelle der Reihe wird sehr klein.
Mit abs(a) >0 divergiert die Reihe. Der Einheitskreis wird unsichtbar klein, und die Reihe läuft spiralig von ihm ausgehend nach Unendlich.
Für genaue Einstellung vergrößern Sie das Fenster auf Bildschirmgröße.
Am innern Rand des Einheitskreises kann die Konvergenz so langsam sein, daß die Zahl von 1000 Gliedern nicht ausreicht, um den Limes, der im Zentrum des grünen Kreises liegt, annähernd zu erreichen.