Berechnung der Kreiszahl π nach Archimedes

Die Simulation demonstriert die Berechnung des Umfangs des Einheitskreises nach dem von Archimedes (287 - 221 v. Chr.) erfundenen Verfahren. Dem Kreis wird ein regelmäßiges Vieleck (rot) eingeschrieben, ein zweites (blau) umschreibt ihn. Der Umfang der Vielecke kann allein mit dem Satz des Pythagoras (ca. 550 v.Chr.) bestimmt werden. Zur weiteren Auswertung muß man Quadratwurzeln ziehen, was zur Zeit von Archimedes eine vertraute Technik war.

Die vorliegende Simulation beginnt mit Quadraten (Ordnung n = 2, Eckzahl N = 2n = 4). Mit einem Schalter n+1 kann die Ordnungszahl stufenweise von n = 2 bis n = 12 hochgeschaltet werden. n und N werden in Zahlenfeldern angezeigt.

Mit einem Optionsschalter Kreis kann der Einheitskreis zu- oder ausgeblendet werden.

Der Schalter Konstruktion blendet ein zweites Fenster ein oder aus, in dem die geometrische Konstruktion beim Übergang vom 4- Eck zum 8- Eck gezeigt wird. Mit dieser Konstruktionszeichnung kann leicht die Formel für die Seitenlänge s des eingeschriebenen Dreiecks nächster Ordnung abgeleitet werden. Den Code dafür finden Sie auf der Seite Initialization/  Approximationsdaten des EJS- Models dieser Simulation. Für die 12. Ordnung (4096-Eck) lautet er (mit Math.sqrt = √ )

s = Math.sqrt(2.0-Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0

+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0

+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0+Math.sqrt(2.0)))))))))))

Mit zunehmender Eckzahl nähern sich eingeschriebenes und und umschriebenes Vieleck schnell dem Kreis und damit auch einander an. Bereits beim 32- Eck sind sie visuell kaum mehr unterscheidbar.Mit dem Schalter Lupe kann das Bildfeld auf einen Ausschnitt reduziert werden, so daß auch bei großer Eckzahl noch Unterschiede erkennbar sind.  Der Reset-Schalter führt in die Ausgangsstellung n = 2 zurück.

Am oberen Rand des Fensters wird in 3 Zahlenfeldern blau der Umfang des eingeschriebenen Vielecks, schwarz der angenäherte Umfang des Einheitskreises (2π), und rot der Umfang des umschriebenen Vielecks gezeigt. Bei n = 12 (N = 4096) liegen die Unterschiede in der 6ten Stelle nach dem Komma.

Mit Kenntnis der Seitenlängen kann auch die Fläche der Teildreiecke, und damit als Grenzwert die Fläche des Kreises (r2π) bestimmt werden, mit π für den Einheitskreis.