Die Glieder der Logistischen Reihe

Diese Simulation analysiert die Glieder der logistischen Reihe im Detail. In 2 Fenstern I und II  kann die Berechnung mit unterschiedlichen Parametern durchgeführt werden:

x0 Anfangswert der Iteration, unterdrückt  (≥ 0) die Zahl der ersten Iterationen, die in die Diagramme nicht gezeigt werden, sichtbar (≥ 1) die Zahl der Iterationen, die in den Diagrammen gezeigt werden. Man kann in einem Fenster die Parameter konstant halten, während das zweite Fenster die mit davon abweichenden Parametern errechneten Werte zeigt.

Der Anfangswert wird mit einem Schieber im Bereich 0.1 < xo < 0.99 in Stufen von 0.01 festgelegt. Die Iterationszahlen werden in zwei Zahlenfenstern als Ganzzahlen eingegeben.

Jede Änderung löscht vorhandene Spuren. Play startet die Berechnung in beiden Fenstern. Sie hält an, wenn der Abszissenbereich überstrichen wurde. Das linke Diagramm jedes Fensters zeigt den vollen Variablenbereich 0 < r < 1, das rechte den der Bifurkationen 0.75 < r < 1.

Beim Öffnen der Simulation sind die Default- Werte xo = 0.5, unterdrückt =50 , sichtbar = 1 (dies ist dann die 51te Iteration). Mit dieser Einstellung ist jedem Abszissenpunkt nur ein Ordinatenpunkt zugeordnet. Die Bifurkationsbereiche sind an Knicken in den Kurven erkennbar, aber eine Bifurkation, also eine Aufspaltung in 2 Zweige sieht man nicht. Bis zum zweiten Bifurkationsknick existiert eine glatte "Limeskurve", danach streuen die Punkte plötzlich wild..

Wenn man in einem der Fenster den Anfangswert ändert, sind beide Kurven vor dem ersten Bifurkationsknick visuell nicht unterscheidbar - 50 unterdrückte Iterationen haben den Einfluß des Anfangswerts hinreichend geglättet. Danach aber kann das Verhalten drastisch unterschiedlich sein und bereichsweise auf den anderen Zweig der Grenzkurven umspringen.

Wenn in beiden Fenstern nur jeweils 1 Iteration angezeigt wird, die sich aber im Index um 1 unterscheidet (z.B. unterdrückt = 50 in I, unterdrückt = 51 in II) und der Anfangswert in beiden Fenstern gleich ist, sieht man in jedem der beiden Fenster einen anderen Zweig der Iteration. Das muß nicht so sein, wenn die Anfangswerte unterschiedlich sind, und dies gilt auch wenn man eine sehr große Zahl unterdrückter Iterationen wählt ( unterdrückt = 1000). Diese logistischen Kurven haben zwischen der ersten und der zweiten Bifurkation für jedes r nur 2 mögliche Werte. Welcher davon für ein bestimmtes r zutrifft, hängt vom Anfangswert ab.

Wenn die Zahl der sichtbaren Iterationen gleich 2 ist, sieht man in den Diagrammen beide Zweige der ersten Bifurkation, unabhängig vom Anfangswert. Es hängt aber vom Anfangswert ab, welcher Wert r für welche der beiden Bifurkationen in welchem Zweig repräsentiert wird.

Wenn die Zahl der gezeigten Iterationen gleich 4 ist, sieht man die 4 Zweige der zweiten Bifurkation, etc. Ein bestimmter Wert von r kann in einer Iteration jetzt zu 4 verschiedenen Werten führen. Welcher davon zutrifft, hängt vom Anfangswert ab; es ist für jede einzelne Iteration jedenfalls nur ein einziger.

Interessant ist auch das Verhalten ohne unterdrückte oder mit wenigen unterdrückten Iterationen (wenn hier bei Änderungen rechnerische Artifakte die Diagramme stören, sollten Sie die Simulation schließen und neu öffnen). Halten Sie sichtbar = 1 konstant, fangen Sie mit unterdrückt = 0 und steigern Sie in Schritten von 1. Jetzt sehen Sie einzelne Iterationen mit ansteigendem Index. Man erkennt Polynome zunehmender Ordnung. Bis r = 0.7 liegen sie, mit Ausnahme der nullten Ordnung (Anfangswert) eng beisammen, ab etwa r = 0.9 fluktuieren sie zunehmend wild. Dazwischen liegt für hohe Indices der Bereich der gut getrennten Bifurkationen, darüber der nahezu chaotische Bereich ohne erkennbare Struktur.

Wenn Sie unterdrückt = 0 wählen, kann man in einem einzigen Diagramm die N ersten aufeinander folgende Iterationen erkennen, wenn man sichtbar =  N (1, 2, 3, 4, ...)setzt. Wenn man bei gleicher Einstellung im zweiten Fenster einen unterschiedlichen Anfangswert wählt, kann man dessen Einfluß deutlich erkennen. Er erscheint viel größer als für hohe Iterationszahl im ersten Bifurkationsbereich, aber nein! das ist nicht so. Dort sind die möglichen Werte zwar recht wohldefiniert, aber eine einzelne Iteration kann je nach Anfangswert über große Distanz auf den einen oder den anderen Zweig springen. Im "chaotischen" Gebiet ist ein großer, nahezu kontinuierlicher Bereich von Werten möglich, abhängig vom Anfangswert.

Um den Eindruck der gewohnten, logistischen Serie zu bekommen. setzen Sie z.B. unterdrückt = 1000, sichtbar = 500. Zwar wird hier nicht von zufälligen Anfangswerten ausgegangen, aber der visuelle Eindruck ist nach so vielen unterdrückten Iterationen praktisch identisch. Man möchte meinen im ersten Bifurkationsbereich gäbe es zu jedem Ereignis (r und 1 Iteration) 2 Lösungen. Sie wissen es jetzt aber besser:  es gibt 2 Möglichkeiten