Klassische und relativistische Weltlinie

Die Simulation zeigt nach Start für konstante Beschleunigung b eines aus dem Ruhezustand im Ursprung startenden Objekts schwarz seine "klassische" und blau seine relativistische Weltlinie. Ein gleichzeitig gestartetes Photon läuft als roter Punkt auf seiner Weltlinie konstanter Lichtgeschwindigkeit.

Am Anfang fallen beide Bahnen nahezu zusammen, die Objekte überdecken sich. Sobald die Bewegungsgeschwindigkeit des Objektes in die Größenordnung der Lichtgeschwindsigkeit kommt fallen die Bahnen und Objekte auseinander. Die schwarze "klassische" Bahn folgt der grauen "klassischen" Weltlinie, während das reale magentafarbene Objekt blau seine relativistische Weltlinie aufzeichnet. Sie ist eine Hyperbel, deren Steigung an keiner Stelle die der Lichtlinie unterschreitet, so daß sie auch stets darüber verläuft.

Die graue Linie zeigt die klassische Lösung für konstante Beschleunigung b

x = 1/2 bt2

ausgehend von der Differentialgleichung

d 2x / d t 2= b

Die rote Linie zeigt die relativistische Grenzline, bei der sich ein aus dem Ursprung kommendes Lichtsignal mit konstanter Lichtgeschwindigkeit beweget ( x = ct )

Die relativistische Bewegung wird mit der Differentialgleichung beschrieben:

d 2x / d 2t = b sqrt(1-((dx /dt)/c)2)  = b sqrt(1-(v(t)/c)2

die in der Simulation numerisch gelöst wird.

Die Taste Play/Pause schaltet die Zeitsteuerung der Animation Reset stellt den Ausgangszustand wieder her.

Mit dem Schieberegler kann die Beschleunigung b variiert werden. Im Default- Zustand ist b = 1, was dazu führt, daß im klassischen Fall die erreichte Distanz nach ct = 2 gleich x = 2 wird; d.h, in diesem Punkt würde das beschleunigte Objekt einen gleichzeitig gestarteten Lichtblitz (roter Punkt), der sich mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet, mit Überlichtgeschwindigkeit überholen. Die Lichtgeschwindigkeit (gleiche Steigung wie die rote Linie) würde von ihm bei ct = 1 erreicht werden.

Bei der Skalierung ist offen geblieben, welche Größendimension die Zeit hat. Wählt man sie in Sekunden, so wird die Entfernung in Lichtsekunden angegeben, wählt man sie in Jahren, so ist die Entfernungseinheit ein Lichtjahr.

Die reale relativistische Hyperbel ist visuell für mäßige Geschwindigkeiten nicht von der klassische Parabel zu unterscheiden. Während die Parabel aber für hohe Greschwindigkeit flacher als der Lichtkegel werden kann (ds Objekt also Überlichtgeschwindigkeit hätte), bleibt die Hyperbel stets steiler:  die Lichtgeschwindigkeit kann nur angenähert, aber nicht überschritten werden.