Komplexer Tangens

tang z = (sin x cos x + i sinh y cosh y) / (cos2 x + sinh2 y)

Beim  Tangens liegt für reale Zahlen (sinh y =0 ) eine periodische Divergenz bei cos x =0 vor. Damit die Vorgänge genau beobachtbar sind, sind neben den Schiebern für die Positionierung des Quadratarrays zwei Zahlenfenster vorgesehen, in denen genaue Werte (z.B: 0) für den Eckpunkt eingetragen werden können.

Für reale Zahlen (y = 0) gilt sinh y = 0; cosh = 1. Die Formeln gehen in die der vertrauten realen Tangensfunktion über. Punkte auf der reellen Achse werden periodisch mit der Periode 2π abgebildet. Es ist -∞ ≤ tan x ≦ ∞. Alle Streifen der reellen Achse von der Breite 2π werden auf den Bereich -∞ ≤ x ≤ ∞ abgebildet.

Punkte auf Parallelen zur realen Achse werden auf geschlossene Kurven um die Punkte +i und -i sind abgebildet

Punkte auf parallelen zur imaginären Achse werden auf Kurven abgebildet, die in die Punkte +i und -i einmünden

Punkte mit Imaginärteil größer π werden in den Punkt i, Punkte mit Imaginärteil kleiner π werden in den Punkt -i abgebildet

Punkte mit endlichem Imaginärteil werden periodisch in endliche Bereiche abgebildet. Punkte mit Imaginärteil Null periodisch in den Bereich -∞ ≤ x ≤ +∞.

4 rote Linien zeigen in x- Richtung die Grenzen eines Periodenstreifens, in y- Richtung die Grenzen des Abbildungsstreifens.

Beim Verschieben des Punktarrays um rotiert die Abbildung einmal um die Punkte -i, +i.

Wählt man die Lage des Array so, daß alle Imaginärteile positiv oder negativ sind, dann tritt keine Divergenz auf und das endliche Abbild rotiert um einen der Punkte.

Das um den Ursprung angeordnete Ausgangs- Kreisarrays mit dem Durchmesser π/4 wird in eine ovale Figur transformiert, bei der die auf der realen Achse liegenden Punkte in -1 und +1 abgebildet werden. Beim Verschieben parallel zur realen Achse wandern die markierten Pukte mit sehr untershiedlicher Gechwindigkeit auf der realen Achse. Wenn der erste Punkt auf der realen Achse die Divergenz π/2 überschreitet klappt die Figur um und ihre Symmetrieachse wechselt. Wenn das Kreisarray keine realen Werte umschließt, rotiert sein Abbild bei Parallelverschiebungen um einen der Punkte -i, +i, ohne Divergenz

Alle Punkte mit positivem Imaginärteil größer π werden in den Punkt i abgebildet, alle Punkte mit negativem Imaginärteil kleiner -π in den Punkt -i. Die Punkte dazwischen werden in die ganze Ebene abgebildet, bei Periodizität mit längs der reellen Achse.