Geometrische Folge und Reihe

Die Glieder der geometrischen Folge werden mit der Regel erzeugt:

xi+1= xi*a

Dabei ist xi das i-te Glied der Folge, mit dem Index i als ganzer, positiver Zahl, einschließlich der Null. Der Wachstumsparameter a ist eine reelle Zahl. Es sei

x0=1

Die Glieder haben also die Form: 1, a, a2, a3, a4..... xi =a i

Die geometrische Reihe entsteht durch fortgesetzte Addition der Glieder der geometrischen Folge. Ihr Teilsummen Si sind also:

Si = Σoi a n mit n von 0 bis i; Si = 1 + a + a 2....+a i

In der Simulation können Sie a mit dem Schieberegler zwischen -1,05 und +1,05 einstellen. Die Reset- Taste stellt a auf den default- Wert 0,5 zurück.

Die interessante Frage ist, ob die Reihe mit unbegrenzt wachsendem Index i einem endlichen Grenzwert zustrebt (konvergiert), oder ob ihr Wert über alle Grenzen wächst (divergiert). Dies hängt von a ab.

In dem linken Fenster werden die Glieder der Folge, im rechten Fenster die Teilsummen der Reihe dargestellt, als Punkte in Abhängigkeit vom Index i. Im rechten Fenster ist der Grenzwert (limes) in Abhängigkeit von a dargestellt, mit einem roten Punkt für den gewählten Wert des Parameters.

Wenn der Absolutwert von a kleiner 1 ist, konvergiert die geometrische Reihe, und es gilt:

limes S i = 1 / (1-a) für abs(a) < 1

Diese Beziehung wird in einem zweiten Fenster als Funktion von a, mit -0,98 < a < 0,98 gezeigt.