Mandelbrot - Menge
Die Mandelbrotfolge wird mit der Regel gebildet:
zn+1= zn2+ c ; z0
= 0
Dabei ist c eine komplexe Zahl.
Gesucht wird der Bereich der komplexen Ebene, für den die Folge nicht
divergiert, beschrieben durch entsprechende, rot gefärbte Punkte c.
Sie bilden die Mandelbrot- Menge,. und liegen innerhalb der durch eine
fraktale Umrandung begrenzten Fläche des "Apfelmännchens". Die
grün-blaue Farbschattierung der außerhalb liegenden Punkte ist ein Indiz
für die Schnelligkeit der Divergenz.
Mit der Maus kann ein Rechteck eingegrenzt werden, für das die Rechnung
mit entsprechend höherer Auflösung neu gestartet wird. Mit der Reset-
Taste kann der Ausgangszustand wieder hergestellt werden.
Die Folge hat die Glieder 0, c, c2+ c, c4 + 2c3
+ c2 + c,...
Maßgebend für die fraktale Struktur ist die Nichtlinearität der Regel
der Folgenbildung. Auch mit anderen nichtlinearen Funktionen als zn+1=
zn2+ c tritt das Phänomen auf, bei einer
natürlich anderen Geometrie.
Julia Menge
Die Julia- Menge zum Mandelbrot- Set entsteht mit der gleichen
Bildungsregel wie die Mandelbrot- Menge selbst : zn+1=zn2+c.
Bei der Julia- Menge wird jedoch c konstant gehalten und iterativ
berechnet, für welche Punkte z der komplexen Ebene Konvergenz
auf einen endlichen Wert ungleich Null auftritt. Diese fraktalen Punkte
bilden die Julia Menge Jedem Punkt der z- Ebene ist also eine
individuelle Julia- Menge zugeordnet. In dem Fenster mit dem Apfelmännchen
sehen Sie einen weißer Punkt, der mit der Maus gezogen werden kann. Er
bestimmt den Punkt c, für den die Julia- Menge berechnet wird, die
im zweiten Fenster gezeigt wird. Auch für sie kann mit der Maus ein
Ausschnitt zur Berechnung mit höherer Auflösung gewählt werden. Reset im
Julia- Fenster führt zur Ursprungsgröße der Julia- Menge bei gegebener
Vergrößerung im Mandelbrotfenster zurück. Reset im Mandelbrot- Fenster
führt zur Juliamenge mit c = 0 und zur Ursprungsgröße der
Mandelbrotmenge. Auch für andere Bildungsregeln besteht der gleiche
Zusammenhang zwischen Grundfraktal und Julia- Fraktal.