Numerische Näherungsverfahren der Integration.
Die rote Kurve zeigt die Sinusfunktion (blau), deren bestimmtes Integral
zwischen einem Anfangspunkt x1 (blau) und
einem Endpunkt x2 (magenta) gebildet werden soll. Für
die näherungsweise Berechnung unterteilt man das Gesamtintervall in
Teilintervalle der Breite delta. Für das Beispiel wurde eine
Unterteilung in 2 Intervalle gewählt. Die Pfeile zeigen den
Funktionswert in den 3 Punkten des Doppelintervalls an.
Näherungsverfahren unterscheiden sich dadurch, wie der Verlauf der
Funktion im Intervall delta angesetzt wird.
1.) Rechteck- Approximation: der Funktionswert y wird im
Intervall als konstant und gleich dem Wert y1 am
Beginn der Intervalls angenommen. Der Beitrag des Intervalls ist delta*y1
2.) Trapez- Approximation: es wird angenommen, daß die Funktion
im Intervall linear von y1 nach y2
verläuft. Der Beitrag des Intervalls ist delta*(y1+y2)/2.
3.) Parabel-Approximation: Der Verlauf der Funktion in 2
Intervallen wird durch eine Parabel zweiten Grades approximiert (eine
Parabel ist durch 3 Punkte eindeutig definiert). Der Beitrag
eines Doppel- Intervalls ergibt überraschend einfach zu 2*delta*1/6(y1+4y2+y3)
Man kann die Approximationsgenauigkeit weiter hochtreiben, indem man
Parabeln höherer Ordnung als 2 ansetzt. Da man dazu immer größere
Teilintervalle zusammenfassen muß, und die Näherung mit einer Parabel
zweiten Grades bereits sehr gut ist, spielen sie in der Praxis keine
grosse Rolle.
Die Simulation berechnet nach den 3 verschiedenen Näherungen die Summe zweier
das Integral annähernden Intervalle mit jeweils der Breite delta .
Mit dem ersten Schieberegler kann die Intervallbreite delta, mit
dem zweiten Schieberegler der Anfangswert des ersten Intervalls x1
eingestellt werden.
Die rote Kurve ist die analytische Integralfunktion cos(x) - cos (x1),
ausgehend vom Anfangswert x1.
Die drei Approximationen werden in 3 nebeneinander liegenden Feldern
dargestellt. Der jeweilige Summenwert wird durch den grünen Punkt
angezeigt.
Reset setzt delta auf 1 und den Anfangswert auf 0.5