Phasenraum- Diagramme

Der Phasenraum charakterisiert die Beziehungen zwischen Variablen und Ableitungen einer Funktion y = y(x), wie y = y (x, y´,y´´). Zweidimensionale Phasenraum- Diagramme sind Projektionen des Phasenraum auf eine Ebene, wie etwa y = y (y´) or y´= y´(y´´). Bei dreidimensionalen Visualisierungen kann die Projektion räumlich sein, wie y = y( y´,y´´).

Phasenraum- Diagramme charakterisieren oft die charakteristischen Eigenschaften eines Funktionstyps besonders anschaulich und überzeugend. In dieser einfachen Simulation wird dies für die Periodizität der Winkelfunktionen demonstriert.

Das linke Fenster zeigt blau die Funktion y = sin ( n x ), grün die erste Ableitung y´= ncos ( nx ). Die Nullinie ist magentafarben eingezeichnet. Mit dem Schieber n kann der Parameter n verändert werden, der die Zahl der Perioden im Intervall festlegt. Reset bestimmt. n = 1.

Ein zweiter Schieber xBereich definiert den Bereich von x als m*2π zwischen 0 und 10 π. Ausgangswert ist m = 0.5, was den ausgewerteten Bereich der Funktion auf eine halbe Periode begrenzt.

Das rechte Fenster zeigt rot die Phasenraumprojektion y´(y) . Ein blauer Punkt beshreibt die Abhängigkeit y´(y) am Ende des x- Bereichs. Im Ausgangszustand (m = 0.5) ist das Phasendiagramm ein Halbkreis, entsprechend der Halbperiode der Funktion. Mit kleiner werdendem m zieht sich das Diagramm auf einen Punkt zusammen. Für m >> 1 wird der Kreis mehrfach durchlaufen Allgemein hat er m Umläufe und damit soviele, wie die Funktion ausgewertete Perioden aufweist.

Für n ≠ 1 weicht die Amplitude der Ableitung von der Amplitude der Funktion ab. Sie hat die n-fache Amplitude. Mit n ≠ 1 wird das Phasendiagramm dementsprechend zu einer Ellipse

Periodizität wird durch geschlossene Phasendiagramme gekennzeichnet, die so oft durchlaufen werden, wie die Funktion Perioden aufweist.