xn+1 = 4rxn(1-xn) = 4 r ( xn -xn2)
Die logistische Folge setzt zunächst die folgende Generation der Population proportional zur bereits vorhandenen Population an. Das allein würde zu exponentiellem Wachstum führen. Gleichzeitig wird aber eine quadratisch mit der vorhandenen Population verknüpfte Aussterberate angesetzt (beachten Sie, daß in der obigen Formulierung xn < 1 ist, also stets xn2 < xn )
Die Frage ist: strebt die Population für gegebene Wachstumsparameter - nach unbegrenzt vielen Generationen unter gleichen Bedingungen - einem stabilen Endwert (Limes) zu, und wie hängt dieser vom Ausgangswert x1 und vom Wachstumsparameter r ab?
Wachstum der Population liegt nur vor, wenn xn+1 > xn, also r > 1/(4(1-xn)). Da 0 < x < 1 ist, schrumpfen alle Populationen bei r < 0,25, unabhängig vom Ausgangswert, gegen Null. Wenn ein Limes existiert, schrumpfen für eine höhere Wachstumsrate darüber liegende Ausgangspopulationen auf den Limes, niedrigere Ausgangswerte wachsen bis zum Limes.
In der Simulation wird r nacheinander im Bereich 0 < r < 1 jeweils um 0,001 erhöht. Die Rechnung geht für jedes r von einem Zufallswert 0 < x1< 1 aus. Nun werden in einer Rechenschleife 2000 Glieder der Folge berechnet. Die ersten Glieder der Reihe schwanken stark in Abhängigkeit vom Ausgangswert; deshalb werden in der Graphik die ersten 1000 Iterationen unterdrückt; den Iterationen 1000 bis 2000 sind jeweils Punkte der Graphik zugeordnet. Für r < 0,75 fallen diese Punkte so eng zusammen, daß sich für jedes r in diesem Bereich ein Limes der Folge abzeichnet, und sich eine "Limes"- ^Kurve in Abhängigkeit von r ergibt.
Diese verzeigt sich (Bifurkation), was heißt, daß unterschiedliche Glieder der Iteration bei gleichem r 2 verschiedene Häufungspunkte haben. Die Verzweigung wiederholt sich, bis schließlich kein Häufungspunkt mehr erkennbar ist. Da 1000 Iterationen gezeigt werden, könnten bis zu 1000 unterschiedliche Werte für ein gegebenes r vorliegen.
Überraschend folgen dann einzelne r- Bereiche, in denen wieder wenige Häufungspunkte auftreten.
Der bestimmende Faktor für die Wachstumsgrenze ist das Produkt 4r; Ändern der Zahl 4 skaliert lediglich die r- Achse anders.
Für das Bifurkationsverhalten ist nicht maßgebend, daß der Begrenzungsfaktor gerade (1-xn) ist. Wesentlich ist die Nichtlinearität der Verknüpfung xn -xn2
Für die Simulation wurde ein verallgemeinerter Faktor (1-xnk), mit k > 0 gewählt;
xn+1 = 4rxn(1-xnk)
Im Simulationsbeispiel können Sie k mit dem Schieberegler zwischen 0,1 und 2 einstellen; die Abszissenskala wird passend annähernd skaliert. Default- Wert ist k = 1, der zur geläufigen Darstellung mit quadratischer Verknüpfung führt.
Das linke Fenster zeigt den Gesamtverlauf in Abhängigkeit von r, das rechte zeigt mit höherer Auflösung den Bifurkationsbereich. Zur genauen Beobachtung sollten Sie das Fenster auf volle Bildschirmbreite aufziehen. Dann kann man auch die einzelnen r- Schritte visuell auflösen.