Mandelbrot - Menge

Die Mandelbrotfolge wird mit der Regel gebildet:

zn+1= zn2+ c ; z0 = 0

Dabei ist c eine komplexe Zahl.

Gesucht wird der Bereich der komplexen Ebene, für den die Folge nicht divergiert, beschrieben durch entsprechende, rot gefärbte Punkte c. Sie bilden die Mandelbrot- Menge,. und liegen innerhalb der durch eine fraktale Umrandung begrenzten Fläche des "Apfelmännchens". Die grün-blaue Farbschattierung der außerhalb liegenden Punkte ist ein Indiz für die Schnelligkeit der Divergenz.

Mit der Maus kann ein Rechteck eingegrenzt werden, für das die Rechnung mit entsprechend höherer Auflösung neu gestartet wird. Mit der Reset- Taste kann der Ausgangszustand wieder hergestellt werden.

Die Folge hat die Glieder 0, c, c2+ c, c4 + 2c3 + c2 + c,...

Maßgebend für die fraktale Struktur ist die Nichtlinearität der Regel der Folgenbildung. Auch mit anderen nichtlinearen Funktionen als zn+1= zn2+ c tritt das Phänomen auf, bei einer natürlich anderen Geometrie.

Julia Menge

Die Julia- Menge zum Mandelbrot- Set entsteht mit der gleichen Bildungsregel wie die Mandelbrot- Menge selbst : zn+1=zn2+c. Bei der Julia- Menge wird jedoch c konstant gehalten und iterativ berechnet, für welche Punkte z der komplexen Ebene Konvergenz auf einen endlichen Wert ungleich Null auftritt. Diese fraktalen Punkte bilden die Julia Menge Jedem Punkt der z- Ebene ist also eine individuelle Julia- Menge zugeordnet. In dem Fenster mit dem Apfelmännchen sehen Sie einen weißer Punkt, der mit der Maus gezogen werden kann. Er bestimmt den Punkt c, für den die Julia- Menge berechnet wird, die im zweiten Fenster gezeigt wird. Auch für sie kann mit der Maus ein Ausschnitt zur Berechnung mit höherer Auflösung gewählt werden. Reset im Julia- Fenster führt zur Ursprungsgröße der Julia- Menge bei gegebener Vergrößerung im Mandelbrotfenster zurück. Reset im Mandelbrot- Fenster führt zur Juliamenge mit c = 0 und zur Ursprungsgröße der Mandelbrotmenge. Auch für andere Bildungsregeln besteht der gleiche Zusammenhang zwischen Grundfraktal und Julia- Fraktal.