		       R. GIRWIDZ 
 
		 M  E  D  I  U  M  2  D 
 
  

Inhalt 
 
1.   Einleitung 
1.1.   bersicht        
1.2.   Quickstart   (die Schnelleinfhrung)     
 
2.   Technische Hinweise        
 
3.   Programmbedienung, Referenz
3.1.   Bedienungselemente 
3.2.   Konfigurationen speichern und laden      
3.3.   Bildeinstellungen
3.4.   Filme erstellen, ansehen, verwalten
3.5.   Materialeigenschaften ndern     
3.6.   Flchenform und Startwerte        
	 Strukturen positionieren        
	 Zentralkrper  
	 Einzelne Startwerte    
3.7.   Festlegen der Rnder      
3.8.   Einstellen von Rechenparametern  
  
4.   Theorie            
	Die numerischen Behandlung (in stark vereinfachter Darstellung) 
	Didaktische Zugangsmglichkeiten        
 
5.   Anwendungsbeispiele, didaktische Aspekte    
5.1.   Direkte Vergleiche zwischen Experiment und Rechnung      
5.2.   Physikalische Gleichungen anschaulich erleben    
5.3.   Detailstudien
5.4.   Ergnzungen zum Experiment       
5.5.   Zugabe zu analytischen Lsungen   
5.6.   Knstliche Konstruktionen aus didaktischer Motivation
5.7.   Weitere, inhaltsspezifische Beispiele    
5.8.   Weitere Beispiele
 
6.   Literaturhinweis

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1. Einleitung 
1.1.    bersicht 
Vorgestellt wird ein PC-Programm, das die Wellengleichung und die Wrme-
leitungsgleichung fr zweidimensionale Medien numerische lst. Unterschied-
liche Ausgangssituationen und verschiedene Rnder sind einstellbar. Die 
Ergebnisse werden in 3D-Darstellung ausgegeben und knnen als Film auf 
dem Computer ablaufen. 
Mit der 'Wrmeleitungsgleichung' sind natrlich auch andere Ausgleichs-
prozesse wie Diffusion, Elektrizittsleitung und Ausgleich von Impuls-
differenzen in Flssigkeiten mit innerer Reibung abgedeckt. (Siehe z.B. 
Sommerfeld A.: Partielle Differentialgleichungen der Physik.) 
Fr die Berechnungen knnen Flchenstruktur, Rnder und Ausgangs-
situationen ber ein Men festgelegt werden. 
  
Bestimmte Eigenschaften des Zentrums, Spalte oder ein bergang zwischen 
zwei unterschiedlichen Medien lassen sich auswhlen. Offene oder feste 
Rnder sind ebenso definierbar wie die (nherungsweise) unendliche 
Fortsetzung. Auch fr jeden einzelnen Gitterpunkt knnen Startwerte ber 
'point and click' vereinbart werden. Ferner sind Blickrichtung, Bildaus-
schnitt und Schwarzweidarstellung einstellbar. 
Die Berechnungen fhren zu 3-dim. Darstellungen, die schlielich als 
Computerfilm ablaufen knnen. (Mit 386-Rechnern, 33MHz und DOS-
SMARTDRV sind in der Reproduktion ber 20 Bilder pro Sekunde mglich.) 
Die Bedienung ist so konzipiert, da alle Funktionen ber Maus oder 
Trackball steuerbar sind und eine aufwendige Beschftigung mit der 
Anleitung entfallen kann. Intendiert ist auch die Verwendbarkeit fr ein 
interaktives "Physik-Schaufenster". Als Eingabegert soll dem Betrachter 
hierbei nur die Maus (oder ein Trackball) zugnglich sein. Computer, Monitor 
und Tastatur knnen jedoch zugriffssicher hinter einer Glaswand stehen. 



1.2.    Quickstart   (die Schnelleinfhrung) 
 
Voraussetzungen:  
    -   PC ( ab '386 ), Festplatte, DOS ab Version 4.01 
    -   Maus und (MS-kompatibler) Maustreiber installiert 
    -   VGA-Grafikkarte 
    -   DOS-SMARTDRV sollte installiert sein  
    -   Vorerfahrung mit Standardanwendungen 
 
 
 A)     Kopieren Sie das Programm "MEDIUM2D.EXE" mit den Beispielen "*.DPL"
	auf Ihre Festplatte (sinnvollerweise in ein eigenes Unterverzeichnis). 
	Rufen Sie das Programm unter DOS auf. 
 
 B)     Startwerte vereinbaren:    
	Whlen Sie mit der Maus das Feld  "FLCHENSTRUKTUR"  aus der 
	Menzeile (linke Maustaste). 
	Rufen Sie analog den Unterpunkt  "STARTWERTE"  auf und aktivieren 
	Sie die Form "GLOCKE". 
	Der Mauszeiger wird automatisch in das Flchengitter versetzt. Mit der 
	linken Maustaste lassen sich jetzt Werte positionieren. (Zunchst 
	bitte nur einen.) 
 
 C)     Ausgangssituation ansehen:      
	Bewegen Sie den Mauszeiger einfach wieder in die Menzeile, z.B. auf 
	das Feld  "FILM". 
 
 D)     Bildsequenz berechnen und aufnehmen:    
	Whlen Sie im Menfeld "FILM" den Punkt "FILM AUFNEHMEN". 
	Nach Eingabe eines Namens und der Filmlnge ber ein Auswahl-
	Requester, beginnt der Computer mit der Berechnung. 
	Bem.: Die unterste Zeile gibt jeweils eine kontextsensitive Hilfe. In 
	diesem Fall wird auf eine Mglichkeiten zum Abbruch hingewiesen.  
 
 E)     Film wiedergeben:       
	Im Menfeld  "FILM" ist der Punkt "FILM ZEIGEN" anzuwhlen. Er 
	liefert eine Auswahlbox mit den verfgbaren Filmen. Nach Anklicken 
	eines Namens wird das erste Bild eingeladen.  
	Der Mauszeiger ist jetzt an die Steuerzeile am oberen Bildschirmrand 
	gebunden. Drcken einer Maustaste aktiviert die jeweilige Funktion. 
	Wird die Maustaste im rechten Steuerfeld gedrckt gehalten, luft der 
	Film automatisch immer wieder von vorne an. 
 
 


2. Technische Hinweise 
 
Das Programm ist fr IBM-kompatible PC's geschrieben (Betriebssystem MS-
DOS ab Version 4.01). Hardwareanforderungen sind eine VGA-Grafikkarte 
mit Farbmonitor; eine MS-kompatible Maus mu installiert sein. Sinnvoll ist 
auf jeden Fall ein mathematischer Coprozessor. 
 
Filme werden im aktuellen Verzeichnis abgelegt. Der Speicherbedarf pro Bild 
betrgt ca. 33 kB. Die maximale Wiedergabegeschwindigkeit von Bild-
sequenzen hngt von der Zugriffszeit des Speichermediums ab, zunchst also 
vom Festplattenzugriff. Ist der Treiber 'SMARTDRV' installiert, so ergibt sich 
mit dem zweiten Filmdurchlauf ein enormer Geschwindigkeitsvorteil. (Mit 
einem 386 / 25MHz und einfacher Grafik-Karte werden beispielsweise ca. 17 
Bilder pro Sekunde erreicht - mit einem 486 / 50 MHz bis ber 80 Bilder pro 
Sekunde.)  
SMARTDRV gehrt ab DOS 4.0 zum Betriebssystem. Eine Beschreibung 
findet sich im DOS-Handbuch. Wenn Windows 3.1 standardmig auf einem 
Rechner mit mehr als 4 MB RAM installiert ist, wird ein Software-
Festplatten-Cache mit 2 MB eingerichtet. Dies gengt fr Kurzfilme mit 50 
Bildern.  
Achten Sie darauf, da SMARTDRV entsprechend Ihrem Bedarf eingestellt 
ist, sonst laufen die Filme deutlich langsamer. 
 
Eine spezielle Programminstallation ist nicht ntig. Die jeweilige 
Rechnerkonfiguration wird automatisch erkannt und bercksichtigt.  
 
 
 


3.  Programmbedienung, Referenz 
 
3.1. Bedienungselemente 
Die Benutzeroberflche ist komplett mengefhrt. In der Statuszeile am 
unteren Bildschirmrand erscheint jeweils eine kontextsensitive Kurz-
information. Die Handhabung drfte damit auch fr die Anwender problemlos 
sein, die erst nach zwei Anlufen eine Anleitungen lesen. 
 
Men-Leiste 
Aus der obersten Zeile (Menleiste) knnen verschiedene Funktionen durch 
Anklicken mit der linken Maustaste gewhlt werden.   
(ESC-Taste und anschlieend Richtungs-Tasten sind die Alternative.) 
 
Status- / Meldezeile 
Die unterste Zeile, die Statuszeile, ist als On-Line-Hilfe ausgelegt. Je nach 
Programmstand erscheinen dort Kurzhilfen zur Bedienung oder auch 
Meldungen zu den Darstellungen. 
 
Maus 
Die Programmsteuerung erfolgt in der Regel ber die Maus. 
Alternativ sind alle Funktionen mit der Tastatur zugnglich: ESC-, RETURN- 
und RICHTUNGSTASTEN decken alle Aufgaben ab. 
 
 
Programmaufruf 
Der Programmaufruf erfolgt mit dem Programmnamen: "MEDIUM2D". 
(Optional ist ein weiterer Parameter - siehe Kap. 3.2.). 
Das Einstiegsbild verschwindet nach kurzer Zeit bzw. beim Drcken einer 
beliebigen Taste. 



3.2.  Konfigurationen speichern und laden  ( Untermen "Datei" ) 
 
Die Funktion "NEU" setzt alle Startwerte zurck. 

Angezeigte Daten und Einstellungen knnen abgespeichert und wieder 
geladen werden. Eine gespeicherte Konfiguration kann auch gleich bei 
Programmstart, ber einen sog. Dos-Parameter aktiviert werden. 
Der Name mit der Extension "CFG" ist dann, getrennt durch ein Leerzeichen, 
direkt hinter dem Programmnamen anzugeben. Beispiel: "MEDIUM2D  BEISPIEL.CFG".  

"STOP" beendet nach Rckfrage das Programm. 
 
 

3.3.  Bildeinstellungen  ( Untermen Bildeinstellung ) 
 
Im ersten Menteil ist die Gre und die "Entfernung" der betrachteten Flche 
einstellbar. 

Unterschiedliche Blickrichtungen lassen sich ber "Blickwinkel" einzustellen.
  
Umstellen auf Schwarzweidarstellung mit dem Schalter "MONO/COLOR" 
(im letzten Feld) kann fr Ausdrucke gnstiger sein, z.B. fr eine Hardcopy 
mit der SHIFT + PRINT SCREEN - Tastenkombination. 



3.4.  Filme erstellen, ansehen, verwalten  ( Untermen "Film" ) 
 
Film aufnehmen 
Vor Aufnahme einer Bildsequenz erscheint erst noch ein Namensrequester 
und eine Auswahlreihe, die die Filmlnge (Zahl der Bilder) bestimmt. Film-
Dateien werden im aktuellen Verzeichnis abgelegt. (Es ist also sinnvoll, fr 
das Programm ein gesondertes Verzeichnis anzulegen.) 
 
Film zeigen 
Der Punkt "FILM ZEIGEN" ffnet erst einen Auswahlkatalog, in dem die verfg-
baren Filme aufgefhrt sind. Fr mehr als 8 Dateien lt sich die Liste 
scrollen, indem der Mauszeiger einfach an den oberen bzw. unteren Rand des Aus-
wahlfensters geschoben wird. Nach Anklicken eines Namens wird das erste Bild 
einer Sequenz eingeladen. 
Der Mauszeiger ist jetzt an die Steuerzeile am oberen Bildschirmrand 
gebunden. Drcken einer Maustaste aktiviert die jeweilige Funktion. 
Bleibt die Maustaste im rechten Steuerfeld gedrckt, luft der Film 
automatisch immer wieder von vorne an. 
  
Film lschen 
Der Name der entsprechenden Filmsequenz ist in dem erscheinenden 
Auswahlkatalog zu bestimmen. 

Film verlngern 
Die Option "FORTSETZEN" ermglicht es, an einen bereits bestehenden Film 
anzukoppeln. Angefgt wird dann die aktuell eingestellte Situation und die 
folgenden Bilder. Dies ermglicht z.B. ein Hintereinanderschalten 
verschiedener Ablufe und damit den unmittelbaren, schnellen Vergleich. 
Hinweis: Ein anderer Fall ist, da eine gerade aufgenommene Sequenz weiter-
entwickelt werden soll, weil vor dem Aufnahmestart nicht gengend Bilder 
vereinbart wurden. Dann sollte aber erst ber den Menpunkt Rechenservice 
ein Bild weitergeschaltet werden. Ansonsten wird das Bild an der Nahtstelle 
doppelt aufgenommen. (Das Schlubild der ersten Aufnahmereihe ist in 
diesem Fall nmlich identisch mit der Startsituation fr die Anschlureihe.) 
 
Film bearbeiten 
Der Untermenpunkt "SCHNEIDEN" ermglicht die nachtrgliche Filmbearbeitung 
durch Lschen einzelner Bilder. Herausgenommen wird jeweils das momentan 
gezeigte Bild. 
 


 
3.5.  Materialeigenschaften ndern  ( Menpunkt "Material" )
  
Materialeigenschaften sind vernderbar. Die Kopplungsgren lassen sich ver-
doppeln bzw. halbieren. (Je nach Einstellung betrifft dies die Wrme-
Diffusionskonstante bzw. die  Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen.) 
Das Rechenfeld kann auch einen bergang zwischen zwei Medien simulieren 
(vgl. Beispiel in Kapitel 5.7.). "Materialabweichungen" unterscheiden sich 
durch einen Faktor 1,5 bzw. 2 in den Kopplungsgren. 




3.6.  Flchenform und Startwerte  ( Menpunkt "Flchenstruktur" )

Spalt, Doppelspalt, Eigenheiten des Zentrums, Auslenkungsfronten und 
einzelne Werte knnen gesetzt werden. 
  
Strukturen positionieren 
Spalt, Doppelspalt und Starkwerte knnen ber direkte Positionsanzeige im 
Rechenfeld festgelegt werden. 
Exemplarisch wird hier das Einrichten eines Spalts verfolgt: 
Nach Aufrufen des Menpunktes "SPALT" lassen sich zunchst einige Eigen-
schaften in einem Auswahlfeld bestimmen.  
Wird der Mauszeiger aus dem Einstellfeld herausgefhrt, so springt er auf das 
Netzgitter. Gleichzeitig wird ein Spalt angedeutet, der sich mit dem Zeiger 
verschieben lt. Durch Drcken der linken Maustaste kann er auf die angezeigte
Position festgelegt werden. 
  
Zentralkrper 
Durch diesen Unterpunkt lassen sich Eigenschaften des Zentrum bestimmen. 
Ein Beispiel sind konstante Werte oder auch ein leerer Bereich.

Einzelne Startwerte 
ber den Punkt "S T A R T W E R T E" knnen einzelne Positionen mit 
verschiedenen Werten belegt werden. 
Es erscheint ein Auswahlfeld: Der ersten 4 Optionen bestimmen Einzelwerte.  
'GLOCKE' erzeugt ein Ausgangszentrum fr nahezu einzgige Kreiswellen.  
'TROPFEN' simuliert grob genhert die Situation, die ein Tropfen im Wasser-
becken auslst.
  



3.7.  Festlegen der Rnder  ( Menpunkt "Rnder") 

Nach Auswahl des Seite werden verschiedene Mglichkeiten angeboten: 

Die Einstellung "UNENDLICH" lt z.B. Wellen ber den Rand hinaus verschwinden; 
eine kontinuierliche Fortsetzung wird simuliert. (Das numerische Verfahren kann 
natrlich nur nherungsweise ein unendliches Gitter simulieren.) 

"UNDURCHLSSIGE" Rnder fhren zur Reflexion ohne Phasensprung bzw. simulieren 
einen adiabatischen Abschlu.

"FESTE" Rnder fhren zu Refexionen mit Phasensprung bzw. bedeuten konstant 
gehaltene Temperatur / Konzentration / Spannung an den Rndern. 

Die Auswahl von "PERIODISCH" lt die gewhlte Seite zu einem sinusfrmigen 
Erreger werden. (Periodendauer 450, 150 oder 50 Rechenschritte). 





3.8.  Einstellen von Rechenparametern  ( Menpunkt "Rechenservice" )
 
Der erste Untermenpunkt berechnet und zeigt das Folgebild. Dabei wird eine 
festgelegte Anzahl von Rechenschritten durchgefhrt. Sie ist ber das Feld 
"Rechenschritte zum Folgebild" einstellbar. 
 
Im zweiten Abschnitt des Untermens kann die Berechnungsgrundlage variiert 
werden (Wellengleichung oder Wrmeleitungs- bzw. Diffusionsgleichung). 
Die Arbeit mit selbst programmierbaren Funktionen ist noch nicht 
dokumentiert und in der vorliegenden Version nicht mglich. 
 
Der letzte Menpunkt setzt die Startwerte auf die Ausgangssituation zurck. 
 




4. Theorie 

Die Gleichungen werden mittels Differenzenverfahren gelst. Im folgenden ist 
die numerischen Behandlung stark vereinfacht dargestellt: 
 
Als Diskretisierung der Ebene wird ein quadratisches Gitter der 
Maschenweite a verwendet. In diesem Netz wird der Laplace-Operator 
am einfachsten durch einen 5-Punkte-Operator genhert. Er bercksichtigt 
die 4 nchsten Nachbarn eines betrachteten Punktes.
 
Die zweite partielle Ableitung nach x am Ort ii ist dann durch die ent-
sprechenden Differenzenquotienten zu ersetzen.
Analoges gilt fr die partiellen Ableitungen nach y. Die Zeitableitungen 
werden ebenfalls durch einen Differenzenoperator ersetzt, wobei die Werte 
dann natrlich aus verschiedenen "Zeitebenen" stammen.  
 
(Das Programm arbeitet allerdings mit einen "9-Punkte-Operator", der die 
bernchsten Nachbarn in entsprechender Gewichtung mit einbezieht.) 
 
Weiterfhrende Informationen sind aus Bchern der Numerischen Mathematik 
zu entnehmen (z.B. aus Finck von Finckenstein: Einfhrung in die 
Numerische Mathematik Bd.2). Ort- und Zeitschritte mssen jedoch 
insbesondere bei der Wrmeleitungsgleichung einige Kriterien erfllen, die 
ber mathematische Konvergenzbedingungen deutlich hinausgehen, wenn das 
Verfahren physikalisch sinnvoll sein soll. 
 
Das Verfahren ist auerdem kurz beschrieben in R. Girwidz: Numerische 
Methoden in der elementaren Wellenlehre. Zeitschrift MNU, Ende 1995.



Didaktische Zugangsmglichkeiten 

Der Zugang zur Berechnungsmethode ist aber nicht nur ber die numerische 
Mathematik mglich. Faktisch wird eine zweidimensionale Gitterstruktur 
behandelt. bertrgt man den Ansatz einer linearen Kette auf die 2-dim. 
Struktur, wird die numerische Formel fr die Wellengleichung fast direkt aus 
der physikalischen Betrachtung zugnglich. Auch die numerische Formel fr 
die Wrmeleitungsgleichung lt sich sehr anschaulich zusammen mit deren 
Herleitung erarbeiten. 
 




5. Anwendungsbeispiele, didaktische Aspekte 

Die nachfolgend angegebenen Beispielfilme sind ber das Men: "FILM - LADEN"
zu starten.

Neue Perspektiven ergeben sich vor allem durch die 3D-Darstellung in 
Verbindung mit der Ausgabe als Computerfilm. Einige Beispiele aus unter-
schiedlichen Anwendungsbereichen sollen aufzeigen, wo didaktische 
Mglichkeiten liegen.   
 
 

5.1.    Direkte Vergleiche zwischen Experiment und Rechnung 

Filmbeispiele: "TROPFEN2", "TROPFEN4"

Die Rechenergebnisse lassen sich in diesem Fall nicht nur als abstrakte 
Wertangaben oder in Diagrammen prsentieren, sondern vom Computer so zeigen, 
da ein direkter visueller Vergleich mit dem Experiment mglich ist. 
Optimal ist folgender Fall: Eine flache Wellenwanne mit Glasboden steht auf 
einem Overheadprojektor. Die Welle, die ein ins Wasser fallender Tropfen 
anregt, wird direkt neben dem entsprechenden Computerfilm gezeigt, der ber 
ein LCD-Display projiziert wird. 
Die Rechendaten sind durch die Darstellung so aufbereitet, da Einsatzstrken 
aber auch Grenzen des Modells im direkten Vergleich mit dem Experiment 
diskutiert werden knnen.
 

  
5.2. Physikalische Gleichungen anschaulich erleben 
 
Filmbeispiel: "2WELLEN" - Ungestrte berlagerung zweier Wellen. 

Der enorme Beschreibungsgehalt physikalischer Gleichungen lt sich 
nachempfinden. Ein Beispiel ist die ungestrte Superposition, die offen-
sichtlich in der Wellengleichung enthalten ist. (Wellenzge lassen sich 
eindrucksvoll berlagern.)
 


5.3. Detailstudien 
 
Filmbeispiel: "HINDERN3" - Eine Welle trifft auf ein Hindernis. 

Die berechneten Ablufe sind praktisch in beliebigen Geschwindigkeiten 
reproduzierbar, lassen sich sogar zurckdrehen. So ist das Verhalten an 
kritischen Stellen besonders gut zu studieren.
 


5.4. Ergnzungen zum Experiment 

Filmbeispiel: "TEMPME13" - Temperaturverteilung auf einer Folie. 

Dort, wo die Aufnahme von Mewerten an experimentelle Grenzen stt, kann 
der Computer weiterhelfen und Ablufe visualisieren. 
Der Film zeigt die Entwicklung der Temperaturverteilung fr eine Folie mit 
Ausschnitt. Rechts hinten wird die Temperatur konstant gehalten, die anderen 
Rndern sind gut isoliert. 
(Fr einen Demonstrationsversuch wre die tatschliche Temperaturbe-
stimmung an allen "Punkten" sicher recht material- und zeitaufwendig, Neben-
wirkungen schnell kritisch.) 
 



5.5. Zugabe zu analytischen Lsungen 
  
Filmbeispiel: "TEMPME22" - Ausgleichsprozesse in unterschiedlichen Medien. 

Komplizierte Anfangsbedingungen und Rndern schrnken analytische Lsungs-
mglichkeiten und vor allem deren Durchsichtigkeit rasch ein. 
Numerische Verfahren haben andere Lsungsbereiche und bieten gerade fr 
den hier vorliegenden Rahmen "sichtlich" brauchbare Ergebnisse. Darber 
hinaus sind speziell Differenzenverfahren elementar und leicht verstndlich. 
Unter diesem Aspekt kann das eingesetzte Verfahren eine Ergnzung zu 
anspruchsvollen theoretischen Behandlungsweisen sein.  
Gezeigt wird die zeitliche Entwicklung einer Temperaturverteilung.



5.6. Knstliche Konstruktionen aus didaktischer Motivation 

Eine konstruierbare, knstliche Rechenwelt bietet weitere didaktische 
Perspektiven. Das Programm gestattet auch in jeder Situation ein Umschalten 
zwischen Wrmeausbreitung und Wellen. So kann man zunchst periodisch 
angeregte Wellen verfolgen und dann ber einen Programmschalter die Aus-
lenkungen zu graphisch dargestellten Werten einer Temperaturverteilung um-
stellen. Ziel kann sein, die unterschiedliche Weiterentwicklung aufzuzeigen.  
 


5.7. Weitere, inhaltsspezifische Beispiele 

Filmbeispiel: "DISPERS1" - Wellenausbreitung mit Dispersion. 

Ein besonders interessantes Thema ist mit dem numerischen Lsungsverfahren 
fr die Wellengleichung verknpft. Durch das Diskretisierungsverfahren wird 
faktisch ein zweidimensionales Gitter simuliert. Anknpfend an die lineare 
Kette ist leicht einzusehen, da auch hier eine charakteristische Dispersions-
relation zu erwarten ist. Sie prgt deutlich erkennbar den Verlauf, der sich 
aus einer stufenfrmigen Anfangsstrung ergibt. 
Groe Wellenlngen laufen mit greren Geschwindigkeiten. (Spezielle Beachtung 
verdient unter diesem Aspekt das Zentrum der Flche.) Die Dispersionsrelation 
wird konkret und am Beispiel visualisiert.

Das Programm bietet aber ausreichend Mglichkeiten, die Ausgangssituation 
so einzustellen, da nur Wellenlngen auftreten, die deutlich grer als 2a 
sind und fr die die Gruppengeschwindigkeit praktisch konstant ist. 
 

5.8. Weitere Anwendungen

Besonders eindrucksvoll sind auerdem:  
Ausblendungen von Huygensschen Elementarwellen ( Filmbeispiel: "HUYGENS1" ),
Interferenzerscheinungen, Beugung am Doppelspalt ( Filmbeispiel: "DOPPELSP" ), 
Brechung ( Filmbeispiel: "2MEDIEN" ), Totalreflexion beim bergang zwischen 
zwei unterschiedlichen Medien, Dopplereffekt ( Filmbeispiele: "DOPPLER1" und
"MACHKEG1" ). 
  


 
6. Literaturhinweis: 

Girwidz R.: Numerische Methoden in der elmentaren Wellenlehre. 
Zeitschrift MNU Ende 1995 



 
Programm MEDIUM2D 

Urheberrechte: 
	Dr. R. Girwidz                                  
						Universitt Wrzburg 
						Physikalisches Institut
	Wlffelstr.4                            Am Hubland 
	97072  Wrzburg                         97074  Wrzburg 
	Tel.: ( 0931/ 885881 )                  Tel.: 0931 / 888 5760 
 

Nutzung fr Unterrichtszwecke erlaubt, Rckmeldungen erbeten. 
 
Wrzburg 18.9.95

 

