8.2 Strahlungsgrößen bei der optischen Abbildung

In diesem Abschnitt wirf untersucht, wie sich die photometrischen Größen bei der Abbildung durch eine Sammellinse verhalten. Dabei sollen die für den paraxialen Bereich gemachten Näherungen gelten.

In Abb. 8.2 wird eine kleine, auf der Achse liegende Fläche  mit konstanter Strahlungsdichte L in allen Richtungen durch eine Linse abgebildet. Das Bild ist die Fläche . Die Verluste an der Linse werden vernachlässigt.
 
 


Abbildung 8.2


 



Als direkt bestrahlte Fläche tritt hier die Linsenfläche  (allgemein die Eintrittspupille) auf, von der in Abb. 8.3 ein Flächenelement  dargestellt ist. Nach Gleichung (8.2) empfängt es den Strahlungsfluß

 
          (8.3)
Dabei wird A1 klein gegen a angenommen, so daß  und  für alle Punkte auf A1 konstant sind.


Abbildung 8.3


 


Um den gesamten Strahlungsfluß durch die Linse zu erhalten, muß über die Linsenfläche  integriert werden.

Dazu wählt man als Flächenelement  einen Kreisring mit der Breite  (siehe Abb. 8.4): 
 


Abbildung 8.4


 


Mit  und  wird schließlich , und damit .

Dabei ist zu beachten, daß  und somit  folgt.

Nun wird über den Winkel  von  bis  mit dem Öffnungswinkel , integriert:
 


.

Als Lösung ergibt sich schließlich:


 



Für die Bestrahlungsstärke E in der Bildfläche  erhält man unter Berücksichtigung des Abbildungsmaßstabs v und  [8]:

          (8.4)

Die Strahlungsdichte L bleibt bei der verlustlosen, optischen Abbildung im Gegensatz zur Bestrahlungsstärke E überall konstant.

Die in Gleichung (8.4) angegebene Bestrahlungsstärke E gilt nur für kleine Gegenstände, die auf der optischen Achse liegen. Im folgenden wird eine kleine, strahlende Fläche betrachtet, die seitlich der optischen Achse liegt, so daß sie von der Linse (Eintrittspupille) aus unter einem Winkel  erscheint (siehe Abb. 8.5).
 
 


Abbildung 8.5


 



Die Flächen  und  sind nur mit ihren Projektionen  und  wirksam, d.h. in Gleichung (8.3) kommt der Faktor  hinzu.

Außerdem ist die Entfernung a1 der Fläche A1 bis zur Linsenfläche AL um den Faktor  größer als a0. Da die Entfernung im photometrischen Grundgesetz (8.2) quadratisch eingeht, tritt noch einmal der Faktor  auf.

Insgesamt ergibt sich für den Strahlungsfluß und damit für die Bestrahlungsstärke die natürliche Helligkeitsabnahme zum Bildrand


 


mit Bestrahlungsstärke einer Bildfläche unter dem Winkel  und Bestrahlungsstärke auf der optischen Achse [8].

 
COMPUTERPROGRAMM "DÜNNE LINSEN":

Im Programm "Dünne Linsen" erscheint nach Anklicken des Menüpunktes Ansicht / Schirm ein Koordinatenkreuz hinter dem Bildpfeil. Die nach rechts aufgetragene Intensität repräsentiert die Bildhelligkeit am entsprechenden, in y-Richtung aufgetragenen Ort.

Vergrößern Sie den Gegenstands- und damit den Bildpfeil, um zu erkennen, daß die Intensität mit dem Abstand zur optischen Achse um den Faktor  abnimmt.

Durch Anklicken des nun verfügbaren Menüpunktes Ansicht / neues Fenster erscheint das gleiche Koordinatensystem in einem frei verschiebbaren und vergrößerbaren Fenster.
 


 

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