3.6. Dynamik starrer Körper

Bisher wurde die Mechanik punktförmiger Massen behandelt.
Wir wollen jetzt räumlich ausgedehnte Körper behandeln.

=> Neue physikalische Größen

a) Dichte
Modellvorstellung:
Körper mit Masse M, Volumen V

Eingeteilt in Massenelemente mi, mit Volumen Vi
 
 
Dichte: 
Einheit: 
 

Anwendung (z.B. !):
Berechnung der Masse M:
 
(falls  räumlich konstant)
 

b) Massenschwerpunkt (s. früher)


(falls  konstant!)
 

Drehbewegungen

Krafteinwirkung auf ausgedehnte starre Körper bewirkt:

und/oder Entscheidend ist: Wo greift die Kraft (Kräfte) an?
Überlegungen im Hilfe der Drehmomentscheibe (Experiment) a) 2 Kräfte greifen in S an, mit  => Scheibe bewegt sich nicht (keine Translation, keine Rotation)

b)  oder  wird entlang der Wirkungslinie der Kraft verschoben

c)  wird um  nach rechts verschoben => Scheibe dreht sich, bis ,  auf der selben Wirkungslinie (durch S !) liegen
Keine Translation ! ( !)
aber Drehbewegung
Auf die Scheibe wirkt bezüglich des Schwerpunktes S ein:
Def: Drehmoment 
Einheit: Nm
 
 
Vektorprodukt 
  
 
 
Hinweis:
1.) D senkrecht auf Drehbewegung !
2.) Richtung der Drehbewegung folgt "rechte-Hand-Regel"
     (Daumen: D   Finger: Drehrichtung)

Wirken auf einen Körper mehrere Drehmomente, so addieren sie sich vektoriell

Drehachsen durch den Schwerpunkt S sind besonders ausgezeichnet:

Drehmoment durch Massenelement mi bei :


    -> 
! ()

Ein Körper ist stabil (keine Drehung!) wenn er drehbar um eine Achse durch den Schwerpunkt S gelagert ist ()
=>
Anwendungen:

a) Experimentelle Bestimmung des Schwerpunktes eines Körpers

1. Experiment

2. Experiment  
b) Hebel Im Gleichgewicht, wenn:

c) Einarmiger Hebel


(Gleichgewichtsbedingung)

d)


Hebelarm: senkrechter Abstand des Drehpunkts von der Wirkungslinie der Kraft
 

3.6.2. Trägheitsmoment / Rotationsenergie

Körper rotiert um Achse A (durch den Schwerpunkt S)
Kinetische Energie des Massenelements  ( Winkelgeschwindigkeit der Rotation)
=> Rotationsenergie des gesamten Körpers: Definition: Trägheitsmoment I Einheit: 
I ist ein Maß für die Massenverteilung des Körpers bezüglich der Rotationsachse
I angegeben bezüglich einer Rotationsachse
Rotationsenergie: Einschub:
Vergleich
 
Translation Rotation
m I
v
 
3.6.3 Drehimpuls

Impuls des Massenelementes (siehe Zeichnung!)

Definition: Drehimpuls


=> 
Einheit: 

=> 
ist ein axialer Vektor

Wenn eine Kraft auf  wirkt mit  dann dreht sich der Körper.
Es wirkt das Drehmoment D:

Allgemein: 
 
Wenn  dann folgt 

Drehimpulserhaltungssatz
Der gesamte Drehimpuls eines Körpers (System von Teilchen) bleibt konstant wenn kein äußeres Drehmoment auf ihn wirkt.
z. B., wenn 
oder  parallel zu 
(Zentralkräfte)
Anwendungsbeispiele: Experimente zum Drehimpulserhaltungssatz
Wirkt ein Drehmoment  auf einen Körper, so gilt:

bewirkt eine Winkelbeschleunigung 
(Analog: Translation )
Ist , 
=> 
     

(Hinweis: Analog zur Translation)
 

3.6.4 Berechnung von Trägheitsmomenten

Bisher: Berechnung von Trägheitsmomen-ten bezüglich Achsen durch den Schwer-punkt.
Wie groß ist IB  bezüglich Achse B parallel zu A?

Körper von oben betrachtet


rs = 0  (Koordinatenursprung ist Schwerpunkt)

Steiner´scher Satz:
Das Trägheitsmoment eines Körpers bei Rotation um beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment des Körpers um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus das Trägheitsmoment der im Schwer-punkt vereinigten Masse bezüglich B. 
 

Einfache Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten:

a) Zweiatomiges Molekül
 

Umrechung:

"reduzierte Masse"
entspricht dem Trägheitsmoment der reduzierten Masse im Abstand  vom Schwerpunkt

Hinweis 1: Trägheitsmoment bezüglich einer Drehachse durch die Molekül-achse ist sehr klein!
Hinweis 2: Man kann Molekülrotationen beobachten mit "Rotationsspektren" Daraus kann I direkt gemessen und die Molekülstruktur bestimmt werden.

b) Hohlzylinder

 

Vollzylinder:
 

3.6.5. Hauptträgheitsachsen

Starre Körper, Massenelement 
 

(Vektorrechnung:  )
 

=> 

=> 

Trägheitstensor

Trägheitstensor ist "diagonalisierbar", d. h.

mit  (Hauptträgheitsmomente)

Körper rotiert "frei" um Achsen mit Hauptträgheitsmomenten
Stabile Achsen für das größte und kleinste Trägheitsmoment
 

3.6.6. Vergleich: Rotation - Translation
 
Rotation Translation
Winkel:  Weg: 
Trägheitsmoment: I Masse: m
Winkelgeschwindigkeit:  Geschwindigkeit 
Drehimpuls:  Impuls 
Drehmoment:  Kraft: 
 
 

3.6.7 Kreiselpräzession

Ein äußeres Drehmoment wirkt auf einen Kreisel:

z. B.: Kreisel wird nicht im Schwerpunkt unterstützt
=> 

(: Abstand zwischen Schwerpunkt und Unterstützungspunkt)
ist 

bewirkt eine Änderung der Richtung von 
 

Kreiselachse weicht  senkrecht aus!