Kapitel 4

4 Schwingungen und Wellen

Bedeutung für:

Akustik (Schallquellen, Empfänger, Ausbreitung)
Mechanik von Festkörpern, Materialwissenschaften
Gemeinsamkeiten von mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen/Wellen
Untersuchung von Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern, Molekülen, ... mittels "Schwingungs-Spektroskopie"
...

4.1 Freie Schwingungen

Bereits besprochen wurde das Fadenpendel, Federpendel:

Fadenpendel:

Differentialgleichung:

Bemerkungen:
1) Schwingungsfrequenz

unabhängig von Amplitude, Masse
2)

wird bei größeren Amplituden auch amplitudenabhängig!
3) Fadenpendel geeignet zur Bestimmung von g!

4.1.1 Freie ungedämpfte Schwingung

am Beispiel der Federschwingung

Rücktreibende Kraft:

Trägheitskraft:

=>

Ergebnis:

durch Anfangsbedingungen festgelegt

unabhängig von Amplitude!

Schwingungsdauer [s]

Frequenz [Hz]

gegen x um ½ phasenverschoben
gegen x um phasenverschoben

E_ges = E_kin + E_pot = ½ Dx² + ½ mv = const
=> E_ges = ½ Dx₀²
Energie proportional zum Quadrat der Amplitude!

Federschwingung ist ein "gutes" Modell für viele physikalische Überlegungen:

Molekülschwingungen
Schwingungen von Festkörpern, etc

i. A. ist die Energie aber nicht: E ~ x₀²
Aber "in guter Näherung" gilt in der Nähe des Gleichgewichts: E ~ x₀²

In der Nähe der Gleichgewichtslage ist Schwingung "harmonisch"

4.1.2 Freie gedämpfte Schwingung

Annahme: Reibungskraft ~ Gewichtskraft
(siehe Stoke´sche Reibung)

Lösungsansatz:

Einsetzen:
=>
=>
=>

Diskussion dieser Lösung:
Offensichtlich erhält man mathematisch unterschiedliche Lösungen wenn ist

a) "Schwache Dämpfung"

Substitution:

Ergebnis ist gedämpfte Schwingung (nicht harmonisch)

Frequenz ist kleiner als !
Frequenzverschiebung wächst mit der Dämpfung!

b) "Starke Dämpfung"

Substitution: =>

Keine Schwingung („kriechen“)

c) "Aperiodischer Grenzfall"

=>

d) Quantitative Beschreibung der Dämpfung

Die Schwingung verliert Energie:
Leistung

Güte der Schwingung:

Definition: Q- Wert (relativer Energieverlust pro Schwingungsperiode)

Dämpfung wird in Dezibel angegeben:

Anfangsenergie: E₁
Endenergie: E₂

Def: weil E ~ Amplitude A²
Def: =>
Bsp: Keine Dämpfung A₁= A₂ => a = 0 dB

Dämpfung A₁= 10 A₂ => a = 20 dB
Dämpfung A₁= 1000 A₂ => a = 60 dB