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3.3.5.2 Mikroskopische Betrachtung

Zunächst befinden sich alle Gasteilchen in der linken Hälfte des Behälters. Nach der freien Expansion sind sie über den ganzen Behälter verteilt.

Einen anderen Zugang zur Entropie erschließt die Statistik. Dazu betrachtet man zum Beispiel die freie Expansion eines Gases vom Volumen auf .

Wie groß ist nach der Expansion die Wahrscheinlichkeit W10, dass sich 10 Teilchen wieder in befinden?

Wie groß ist nach der Expansion die Wahrscheinlichkeit W50, dass sich 50 Teilchen wieder in befinden?

Nun verallgemeinern wir die Betrachtung und gehen von der freien Expansion eines Gases vom Volumen in ein Volumen aus.

Die Wahrscheinlichkeit W1, dass sich nach der freien Expansion wieder alle N Moleküle des Gases im Volumen befinden und damit der Ausgangszustand wieder hergestellt ist, beträgt

.

Im Endzustand müssen sich alle Teilchen im Volumen aufhalten und die Wahrscheinlichkeit ist damit .

Es gilt nun für das Verhältnis der Ausgangswahrscheinlichkeit W1 und der Wahrscheinlichkeit im Endzustand W2:


thermodynamisches Wahrscheinlichkeitsverhältnis.17

Um bei Teilchenzahlen von Zahlen vernünftiger Größenordnung zu erhalten, logarithmiert man die Gleichung und erhält

.

Mit Hilfe eines reversiblen Ersatzprozesses, bei dem das ideale Gas in einem Zylinder mit beweglichem Kolben isotherm vom Volumen V1 auf das Endvolumen V2 entspannt wird, kann die Entropieänderung berechnet werden. Dazu verwendet man den ersten Hauptsatz und die Beziehung

.

Dabei bezeichnet die Stoffmenge, R die allgemeine Gaskonstante.

Der Vergleich beider Gleichungen zeigt den von Ludwig Boltzmann gefundenen Zusammenhang zwischen der Änderung der Entropie und dem thermodynamischen Wahrscheinlichkeitsverhältnis:

.

Dabei bezeichnet k den Boltzmann-Faktor. Für die Entropie selbst gilt


Entropie,

wobei W die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ein thermodynamischer Zustand realisiert ist.

Die Entropie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Zustands oder den Grad der Unordnung.

Da die Entropie bei allen irreversiblen Zustandsänderungen zunimmt, nimmt der Grad der Unordnung zu.

Weitere Informationen zur Mikroskopischen Betrachtung und zum Zusammenhang zwischen Entropie und Information finden Sie bei der Technischen Universität Braunschweig sowie bei der Universität Ulm.

17 siehe Hering (1992, Kap. 3.3.6.4, S. 185)