Laminare Rohrströmung

Der Mensch besitzt ein Netz von Blutgefäßen. Wir setzen uns nun mit der Frage auseinander, welches Volumen V einer Flüssigkeit in der Zeit t durch ein solches Netz strömt und von welchen Parametern dieser Wert beinflusst wird.
Dazu nehmen wir an, dass eine Ader ein zylindrisches Rohr mit kreisför-migen Querschnitt vom Radius R darstellt. Innerhalb dieses mit Flüssigkeit gefüllten Rohres herrscht ein Druckunterschied p = p₁ - p₂ zwischen den Ebenen z = 0 und z = l (vgl. Abb. ). Ein im Inneren gelegener, konzentrischer Flüssigkeitszylinder der Länge l und Radius r wird jetzt näher betrachtet. Der Betrag der Druckkraft F_p muss im stationären Fall gleich dem der Reibungskraft F_R sein, die auf die Zylinderoberfläche wirkt,

F_R = =

Als Reibungskraft wurde die Formel für Viskosität mit der Stirnfläche des Hohlzylinders A = 2r l benutzt. Löst man die obige Gleichung nach v auf und integriert danach beide Seiten, beachtet die Randbedingung v(R) = 0 (Fluid haftet am Rand des Rohres und bewegt sich deswegen nicht), ergibt sich folgendes Geschwindigkeitsprofil:

v(r) = =

Wie wir erkennen, handelt es sich um eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung, d. h. die Geschwindigkeit v(r) bildet räumlich betrachtet ein Rotationsparaboloid. Nun können wir die Flüssigkeitsmenge V berechnen, die in der Zeit t durch das Rohr fließt.

$$\left(\vphantom{ \int_0^R R^2 r\,\textrm{d}r\;-\;\int_0^R r^3\,\textrm{d}r }\right. \left.\vphantom{ \int_0^R R^2 r\,\textrm{d}r\;-\;\int_0^R r^3\,\textrm{d}r }\right)$$ = =

Den Quotienten aus Volumen V und der Zeit t nennt man Stromstärke I. Damit gilt

=   R⁴

Diese Formel wird als Hagen^2.1-Poiseuille^2.2-Gesetz bezeichnet . Ein Beispiel hierzu sind die Blutgefäße des Menschen. Durch die R⁴-Abhängigkeit bewirken bereits minimale Ablagerungen in Blutgefäßen, dass der Blutdruck steigen muss, wenn der Blutstrom konstant gehalten werden soll.