Bernoulli-Gleichung (Energiesatz)

Wir beschäftigen uns im folgenden Abschnitt mit idealen Flüssigkeiten, die stationär ( = 0) und inkompressibel ( = konstant) sind. Außerdem wirkt die Schwerkraft auf das Medium.
K_anim.gif

Abbildung: Energiebilanz
\begin{figure} \begin{tabular}{\vert\vert c \vert c \vert c\vert\vert} \hline &... ...a m {v_1}^2$& $\frac{1}{2} \Delta m{v_2}^2$\ \\ \hline \end{tabular}\end{figure}


Die Flüssigkeit soll durch ein Rohr (vgl. Bild 3.5) mit veränderlichem Querschnitt A und variierender Höhe h fließen. Am Ort s1 wird das Volumenelement V1 durch den Querschnitt A1 mit der Geschwindigkeit bewegt. Da die Dichte des Fluids als konstant angenommen wird, gilt mit der Kontinuitätsgleichung die Massenerhaltung, d. h. dass in der Zeit t am Ort s2 genausoviel Masse m aus dem Querschnitt A2 herausströmt, wie bei A1 hineinströmt. Es gilt also:

m =  V1 =  V2,

woraus folgt:

V1 = V2 = V.

Nun betrachten wir die geleistete Druckarbeit Wp an den Orten si näher. Zunächst ist klar, dass eine Druckdifferenz p1 - p2 0 aufgrund der verschienden Geschwindigkeiten vorhanden sein muss. Im engen Teil der Röhre (Ort s1) leistet die Druckkraft F1 die Arbeit:

W1 = F1l1 = p1A1l1 = p1V1.

Im breiten Teil der Röhre (Ort s2) wird die Arbeit

W2 = F2l2 = p2A2l2 = p2V2

gegen die Druckkraft geleistet. Die hieraus resultierende Druckenergieänderung

Ep = W1 - W2  
  = p1 V1 - p2 V2  
  = (p1 - p2) V  

muss identisch E (Differenz aus kinetischer Energie Ekin und potentieller Energie Epot an den Orten si) sein. Am Ort s1 besitzt die Flüssigkeit mit der Masse m im Fluidelement V die Energie

E1 = Ekin1 + Epot1 = mv12 + mgh1.

Für den Ort s2 gilt:

E2 = Ekin2 + Epot2 = mv22 + mgh2.

Wir erhalten für E:


E = E2 - E1  
  = (v22 - v12) + mg(h2 - h1).  

Wie zuvor erläutert können wir Ep und E gleichsetzen:


Ep = E,  
   (p1 - p2)  =  (v22 - v12) + g (h2 - h1).  

Damit ergibt sich

Diese Gleichung für reibungsfreie, stationäre, inkompressible Flüssigkeiten nennt man Bernoulli1.2-Gleichung . Sie folgt aus der Energieerhaltung. Die Gesamtenergie als Summe aus Druckenergie, potentieller Energie und kinetischer Energie bleibt entlang der Röhre konstant.

Eine besonders eindrucksvolle Anwendung der Bernoulli-Gleichung ist das sogenannte  Hydrodynamische Paradoxon.


Kennen Sie Lord Rayleigh?

Die Grösse v2 = pd bezeichnet man als dynamischen Druck.

Die Differenz aus Gesamtdruck p und dynamischen Druck pd nennt man statischen Druck ps.



Was passiert bei horizontalen Strömungen?

Universität Würzburg